cho hình thang ABCD (AB//CD), M là trung điểm của CD. Gọi I là giao điểm của AM và BD, K là giao điểm của BM và AC. a, C/m IK//AB—-b, Đường thẳng IK cắt AD, BC lần lượt E và F. C/m EI=IK=KF
cho hình thang ABCD (AB//CD), M là trung điểm của CD. Gọi I là giao điểm của AM và BD, K là giao điểm của BM và AC. a, C/m IK//AB—-b, Đường thẳng IK cắt AD, BC lần lượt E và F. C/m EI=IK=KF
a, Ta có: $AB//CD$
$=>D1=B1$ và $C1=A1$
$=>ΔIMD~ΔIAB$
$=>IM/IA=DM/AB$
Xét $ΔKMC$ có $ΔKMA$
$K1=K2$
$=> ΔKMC~ΔKBA$
$=>KM/KB=MC/BA$
Mà: $MC=MD$
$=>IM/IA=KM/KB$
$=>IK//AB$ (talet đảo)
b, Lại có: $AI/AM=EI/DM$
Và: $BK/BM=KF/MC$
Và: $AI/AM=IK/MC$
Và: $BK/BM=IK/DM$
Mà: $IK/MC=IK/MD$
$=>IA/AM=BK/BM$
$IE/DM=KF/MC=IK/MC$
$=>EI=FK=IK(đpcm)$
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a) Vì ABCD là hình thang nên ta có :
AB song song với CD (gt)(1)
=> góc D1 = Góc B1 (hai góc so le trong) (2)
Và góc C1=góc A1 (2 góc so le trong ) (3)
Xét tam giác IMD và tam giác IAB , ta có:
góc I1 = góc I2 (2 góc đối đỉnh ) (4)
Từ (2) , (4) => Tam giác IMD đồng dạng với tam giác IAB (G-G) (5)
Xét tam giác KMC và tam giác KBA , ta có :
góc K1 = góc K2 (hai góc đối đỉnh ) (6)
Từ (3), (6) => tam giác KMC đồng dạng với tam giác KBA (G-G) (7)
Từ (5) => IM/IA = DM/AB(8)
Từ (7) => KM/KB = MC/AB (9)
Mà DM= MC (M là tđ của CD) (10)
=>DM/AB = MC / AB (11)
Từ (8),(9),(11) => IM/IA = KM/KB (12)
Nên IK song song với AB ( đl Ta-lét đảo) (13)
b)Từ (1),(13) => IK song song với CD (14)
Từ (14) =>EI song song với DM ,áp dụng hệ quả của định lý Ta-lét đối với tam giác ADM. Ta có :
AI / AM = Ei / DM (15)
Từ (14) => KF song song với MC , áp dụng hệ quả của định lý Ta-lét đối với tam giác BCM. Ta có :
BK/ BM = KF/MC (16)
Từ (14) => IK song song với MC, áp dụng hệ quả của địn lý Ta-lét đối với tam giác ACM . TA cÓ :
AI/AM = IK/MC (17)
Từ (14) => IK song song với DM , áp dụng hệ quả của định lý Ta-lét với Tam giác BDM . ta có:
BK/BM = IK/DM (18)
Từ (10) => IK/MC = IK /DM (19)
Từ (17),(18),(19), => AI/ AM = BK/ BM (20)
Từ (15),(16),(17),(20) => EI/DM = KF / MC =IK / MC (21)
Từ (10),(21) => Ei=IK=KF