Cho hình thang ABCD với đáy AB,DC và biếtDC = 4AB. Hai đường chéo AC và DB cắt nhau tại E. Chứng minh rằng S ADE = S BCE và tính tỷ số EA/EC

0 bình luận về “Cho hình thang ABCD với đáy AB,DC và biếtDC = 4AB. Hai đường chéo AC và DB cắt nhau tại E. Chứng minh rằng S ADE = S BCE và tính tỷ số EA/EC”

1. Đáp án:EAEC=14EAEC=14

    

   Giải thích các bước giải:

   Kẻ đường cao AHAH của hình thang

   Ta được:

   SACD=12×CD×AHSACD=12×CD×AH

   SBCD=12×CD×AHSBCD=12×CD×AH

   Vậy SACD=SBCDSACD=SBCD

   Ta có:

   SABC=12×AB×AHSABC=12×AB×AH

   SACD=12×CD×AHSACD=12×CD×AH

   ⇒SABCSACD=12×AB×AH12×CD×AH=ABCD⇒SABCSACD=12×AB×AH12×CD×AH=ABCD

   mà CD=4ABCD=4AB

   nên SABCSACD=AB4AB=14SABCSACD=AB4AB=14

   Từ BB kẻ đường cao BMBM của ΔABCΔABC

   Từ DD kẻ đường cao DNDN của ΔACDΔACD

   Ta có:

   SABC=12×BM×ACSABC=12×BM×AC

   SACD=12×DN×ACSACD=12×DN×AC

   ⇒SABCSACD=12×BM×AC12×DN×CD=BMDN⇒SABCSACD=12×BM×AC12×DN×CD=BMDN

   mà SABCSACD=14SABCSACD=14 (chứng minh trên)

   nên BMDN=14BMDN=14

   Mặt khác ta có:

   SABC=SABD=12×AB×AHSABC=SABD=12×AB×AH

   SABC=SABE+SBECSABC=SABE+SBEC

   SABD=SABE+SAEDSABD=SABE+SAED

   nên SBED=SAEDSBED=SAED

   ⇒12×BM×EC=12×DN×EA⇒12×BM×EC=12×DN×EA

   ⇒BM×EC=DN×EA⇒BM×EC=DN×EA

   ⇒EAEC=BMDN=14⇒EAEC=BMDN=14

   Vậy EAEC=14EAEC=14

    

   Bình luận

2. Kẻ đường cao $AH$ của hình thang

   Ta được:

   $S_{ACD} =\dfrac12 ×CD × AH$

   $S_{BCD} = \dfrac12 ×CD ×AH$

   Vậy $S_{ACD} = S_{BCD}$

   Ta có:

   $S_{ABC} = \dfrac12 ×AB ×AH$

   $S_{ACD} = \dfrac12 × CD × AH$

   $\Rightarrow \dfrac{S_{ABC}}{S_{ACD}} = \dfrac{\dfrac12×AB×AH}{\dfrac12×CD×AH} = \dfrac{AB}{CD}$

   mà $CD = 4AB$

   nên $\dfrac{S_{ABC}}{S_{ACD}} = \dfrac{AB}{4AB} = \dfrac{1}{4}$

   Từ $B$ kẻ đường cao $BM$ của $ΔABC$

   Từ $D$ kẻ đường cao $DN$ của $ΔACD$

   Ta có:

   $S_{ABC} = \dfrac12 × BM × AC$

   $S_{ACD} = \dfrac12 × DN × AC$

   $\Rightarrow \dfrac{S_{ABC}}{S_{ACD}} = \dfrac{\dfrac12×BM×AC}{\dfrac12×DN×CD} = \dfrac{BM}{DN}$

   mà $\dfrac{S_{ABC}}{S_{ACD}} = \dfrac{1}{4}$ (chứng minh trên)

   nên $\dfrac{BM}{DN} = \dfrac{1}{4}$

   Mặt khác ta có:

   $S_{ABC} = S_{ABD} = \dfrac12 × AB × AH$

   $S_{ABC} = S_{ABE} + S_{BEC}$

   $S_{ABD} = S_{ABE} + S_{AED}$

   nên $S_{BED} = S_{AED}$

   $\Rightarrow \dfrac12 × BM ×EC = \dfrac12 × DN × EA$

   $\Rightarrow BM × EC = DN × EA$

   $\Rightarrow \dfrac{EA}{EC} = \dfrac{BM}{DN} = \dfrac{1}{4}$

   Vậy $\dfrac{EA}{EC} = \dfrac{1}{4}$

    

   Bình luận