Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi M, N lần lượt thuộc các đoạn thẳng BC và AC sao cho vecto BM = 1/3 vecto MC, CN = kAN (vecto) và AM vuông góc DN. Tìm k
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi M, N lần lượt thuộc các đoạn thẳng BC và AC sao cho vecto BM = 1/3 vecto MC, CN = kAN (vecto) và AM vuông góc DN. Tìm k
Đáp án:
\[k = – 4\]
Giải thích các bước giải:
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AB} = \overrightarrow x \\
\overrightarrow {AD} = \overrightarrow y
\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow x .\overrightarrow y = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = \overrightarrow 0 \)
Suy ra
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {BM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {MC} \\
\overrightarrow {CN} = k.\overrightarrow {AN}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {BM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {BC} = \frac{1}{4}\overrightarrow y \\
\overrightarrow {CN} + k\overrightarrow {NC} = k\left( {\overrightarrow {AN} + \overrightarrow {NC} } \right)
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {BM} = \frac{1}{4}\overrightarrow y \\
\overrightarrow {CN} = \frac{k}{{1 – k}}\overrightarrow {AC} = \frac{k}{{1 – k}}\left( {\overrightarrow x + \overrightarrow y } \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
AM \bot DN \Rightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {DN} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} } \right)\left( {\overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CN} } \right) = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow \left( {\overrightarrow x + \frac{1}{4}\overrightarrow y } \right)\left( {\overrightarrow x + \frac{k}{{1 – k}}\overrightarrow x + \frac{k}{{1 – k}}\overrightarrow y } \right) = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow \left( {1 + \frac{k}{{1 – k}}} \right){\overrightarrow x ^2} + \frac{k}{{1 – k}}\overrightarrow x .\overrightarrow y + \frac{1}{4}\left( {1 + \frac{k}{{1 – k}}} \right)\overrightarrow x .\overrightarrow y + \frac{1}{4}.\frac{k}{{1 – k}}{\overrightarrow y ^2} = 0\\
\left| {\overrightarrow x } \right| = \left| {\overrightarrow y } \right| = a,\overrightarrow x .\overrightarrow y = \overrightarrow 0 \\
\Rightarrow \frac{{1 – k + k}}{{1 – k}}.{a^2} + \frac{k}{{4\left( {1 – k} \right)}}{a^2} = 0\\
\Leftrightarrow \frac{1}{{1 – k}} + \frac{k}{{4\left( {1 – k} \right)}} = 0\\
\Leftrightarrow \frac{{k + 4}}{{4\left( {1 – k} \right)}} = 0\\
\Leftrightarrow k = – 4
\end{array}\)