Cho hình vuông ABCD cạnh a, lấy điểm M bất kì trên cạnh BC ( M khác B và C). Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng DM tại H, kéo bài BH cắt đường thẳng DC tại K.
1, Chứng minh $\widehat{DAC}=\widehat{DHC}$
2, Gọi $S_{ABM},S_{DCM}$ là diện tích của ΔABM, ΔDCM. Chứng minh ($S_{ABM}+S_{DCM}$) không đổi. Xác định vị trí điểm M trên BC để $S^{2}_{ABM}+S^{2}_{DCM}$ đạt giá trị nhỏ nhất
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
1) $Δ$ vuông $BCK ≈ Δ$ vuông $DHK$ (chung góc $K$)
$ ⇒ \dfrac{CK}{CB} = \dfrac{HK}{HD} ⇔ \dfrac{CK}{CD} = \dfrac{HK}{HD}$
$ ⇒ HC$ là phân giác $∠DHK $
$⇒ ∠DHC = \dfrac{∠DHK}{2} = \dfrac{90^{0}}{2} = 45^{0} = ∠DAC (đpcm)$
2)
$ S_{ABM} + S_{DCM} = \dfrac{AB.MB}{2} + \dfrac{CD.MC}{2}$
$ = \dfrac{AB}{2}(MB + MC) = \dfrac{AB.BC}{2} = \dfrac{a²}{2} (đpcm)$ (ko đổi)
$ S_{ABM}² + S_{DCM}² ≥ \dfrac{1}{2}(S_{ABM} + S_{DCM})² = \dfrac{1}{2}.(\dfrac{a²}{2})² = \dfrac{a^{4}}{8}$
$ ⇒ GTNN$ của $S_{ABM}² + S_{DCM}² = \dfrac{a^{4}}{8}$
Đạt được khi $: S_{ABM} = S_{DCM} ⇔ MB = MC$