cho hình vuông ABCD có 2 đường chéo cắt nhau tại O.M,N,P lần lượt là trung điểm AO,OB và CD a) CM : AMNB là hình thang cân b) CM : MNPD là hình bình h

0 bình luận về “cho hình vuông ABCD có 2 đường chéo cắt nhau tại O.M,N,P lần lượt là trung điểm AO,OB và CD a) CM : AMNB là hình thang cân b) CM : MNPD là hình bình h”

1. a) Do M, N là trung điểm AO, BO nên MN là đường trung bình của tam giác OAB.

   Suy ra MN//AB và $MN = \dfrac{1}{2} AB$.

   Vậy tứ giác AMNB là hình thang.

   Lại có OA = OB, suy ra tam giác OAB cân tại O.

   Vậy $\widehat{OAB} = \widehat{OBA}$

   Xét hình thang AMNB có $\widehat{OAB} = \widehat{OBA}$

   Vậy AMNB là hình thang cân.

   b) Do P là trung điểm CD nên 

   $PC = PD = \dfrac{1}{2} CD$

   Lại có ABCD là hình vuông nên $CD = AB$.

   Vậy

   $PC = PD = \dfrac{1}{2} CD = \dfrac{1}{2} AB = MN$

   Suy ra PD = MN.

   Lại có MN//AB, AB//CD nên MN//PD.

   Xét tứ giác MNPD có MN//PD và MN = PD.

   Vậy tứ giác MNPD là hình bình hành.

   c) Do O là giao điểm 2 đường chéo của hình vuông nên $AO \perp DN$.

   Lại có MN//AB và $AB \perp AD$ nên $MN \perp AD$.

   Lại có AO giao MN tại M, suy ra M là trực tâm của tam giác AND.

   Suy ra $DM \perp AN$.

   d) Ta có tứ giác MNPD là hình bình hành nên MD//PN.

   Lại có $MD \perp AN$.

   Suy ra $PN \perp AN$.

   Vậy tam giác ANP vuông tại N. Lại có I là trung điểm AP nên MI là trung tuyến của tam giác, suy ra

   $NI = IP = IA = \dfrac{1}{2} AP$.

   Xét tam giác APD vuông tại D có I là trung điểm AP, suy ra DI là trung tuyến của tam giác, vậy 

   $DI = IA = IP = \dfrac{1}{2} AP$.

   Vậy $NI = DI$.

   Suy ra tam giác NID cân tại I.

   Bình luận