Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. Gọi E và F theo thứ tự là các điểm đối xứng với O qua AD và BC.
a/ Chứng minh rằng các tứ giác AODE, BOCF là hình vuông.
b/ Nối CE cắt DF tại I. Chứng minh rằng OI⊥CD
c/ Biết diện tích của hình lục giác ABFCDF bằng 6. Tính độ dài cạnh của hình vuông ABCD
Đáp án:
a) Xét tứ giác AODE có 2 đường chéo AD và OE vuông góc tại trung điểm mỗi đường
=> AODE là hình thoi
Lại có OA=OD
=> AODE là hình vuông
Tương tự với BOCF
b) CDEF là hình thang cân
=> OI vuông góc với CD và EF
c) Gọi cạnh hình vuông ABCD là x
=> cạnh của hình vuông AODE là: $\frac{{x\sqrt 2 }}{2}$
$\begin{array}{l}
{S_{ABFCDE}} = {S_{ABCD}} + {S_{BCF}} + {S_{ADE}} = {S_{ABCD}} + {S_{BOCF}}\\
\Rightarrow 6 = {x^2} + {\left( {\frac{{x\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = \frac{3}{2}{x^2}\\
\Rightarrow {x^2} = 4\\
\Rightarrow x = 2
\end{array}$
Vậy cạnh hình vuông ABCD là 2