Cho hình vuông ABCD có M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD và F là giao điểm của DN và MC
a) chứng minh AP // MC
b) Chứng minh các tam giác FAB và DAF là các tam giác cân
c) Gọi I là trung điểm của FB. Tính góc PAI
Cho hình vuông ABCD có M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD và F là giao điểm của DN và MC
a) chứng minh AP // MC
b) Chứng minh các tam giác FAB và DAF là các tam giác cân
c) Gọi I là trung điểm của FB. Tính góc PAI
Giải thích các bước giải:
a,
ABCD là hình vuông nên AB//CD hay AM//PC
Mặt khác AM=1/2AB=1/2CD=PC
nên AMCP là hình bình hành suy ra AP//MC
b,
Gọi E là giao điểm của AP và DN
Ta có: hai tam giác ADP và DCN là hai tam giác bằng nhau (c.g.c)
Suy ra
\[\begin{array}{l}
\widehat {DAP} = \widehat {NDC}\\
\Leftrightarrow \widehat {DAP} + \widehat {ADN} = \widehat {NDC} + \widehat {ADN}\\
\Leftrightarrow \widehat {DAP} + \widehat {ADN} = 90^\circ \\
\Rightarrow \widehat {AED} = 90^\circ
\end{array}\] hay AP vuông góc với DN
Mà AP//MC nên MC cũng vuông góc với DN
Tam giác DFC có PE//CF mà P là trung điểm của DC nên E là trung điểm của DF
Tam giác ADF có AF vừa là đường cao, vừa là trung tuyến nên tam giác ADF cân tại A
Suy ra AD=AF mà AD=AB nên AB=AF hay tam giác FAB cân tại A
c,
I là trung điểm của FB mà tam giác AFB cân tại A nên AI là phân giác của góc FAB
AE là phân giác góc DAF
suy ra
\[\widehat {PAI} = \frac{1}{2}\widehat {DAB} = 45^\circ \]