Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy E và trên cạnh AD lấy F sao cho AE =AF . Vẽ AH vuông góc với BF ( H thuộc BF) , AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N.
a) CM: tam giác CBH đồng dạng tam giác EAH
b) Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH. CMR: AC= 2EF
Bạn tự vẽ hình nhé!
a, Dễ dàng cm ΔAFH ~ ΔBAH (g.g)
=> $\frac{AF}{AB}$ = $\frac{AH}{BH}$
=> $\frac{AE}{BC}$ = $\frac{AH}{BH}$ (1)
Có AF// BC => ∠AFH= ∠HBC
Mà ∠AFH= ∠HAE (vì cùng phụ với ∠FAH)
=> ∠HBC= ∠HAE (2)
Từ (1) và (2) => ΔCBH ~ ΔEAH (c.g.c)
b, Có ΔCBH ~ ΔEAH => ∠AHE= ∠BHC
=> ∠AHF+ ∠AHE= ∠AHB+ ∠BHC (vì ∠AHF= ∠AHB= 90 độ)
=> ∠FHE= ∠AHC
Xét ΔAFE và ΔBAC có
∠EAF=∠ABC= 90 độ
$\frac{AF}{AB}$ = $\frac{AE}{BC}$
=> ΔAFE ~ ΔBAC (c.g.c)
=> ∠AFE= ∠BAC
=> ∠AFH- ∠AFE= ∠BAH- ∠BAC (vì ∠AFH= ∠BAH)
=> ∠EFH= ∠CAH
Xét ΔEFH và ΔCAH có
∠FHE= ∠AHC
∠EFH= ∠CAH
=> ΔEFH ~ ΔCAH (g.g)
=> $\frac{EF}{AC}$ = $\frac{EH}{HC}$
Có $\frac{S AEH}{S BCH}$ = $\frac{1}{4}$
=> $\frac{EH}{HC}$ = $\frac{1}{2}$ (vì tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng thì bằng bình phương tỉ số đồng dạng)
=> $\frac{EF}{AC}$ = $\frac{1}{2}$
=> AC= 2. EF