Cho họ đường cong (Cm):x^2+y^2-2mx-2(m+1)y+2m-1=0
tìm tập hợp các tâm của các đường tròn (Cm)
b,Tìm đường tròn có bán kính nhỏ nhất trong họ(Cm)
c,Tìm các điểm cố định mà mọi đường tròn của họ (Cm) đều đi qua
d,Chứng minh rằng (Cm)luôn cắt Oy tại 2 điểm phân biệt
Giải thích các bước giải:
a) Gọi $I$ là tâm đường tròn $(C_m)$
Ta có:
$\begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} – 2mx – 2\left( {m + 1} \right)y + 2m – 1 = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} – 2mx + {m^2} + {y^2} – 2\left( {m + 1} \right)y + {\left( {m + 1} \right)^2} + 2m – 1 – {m^2} – {\left( {m + 1} \right)^2} = 0\\
\Leftrightarrow {\left( {x – m} \right)^2} + {\left( {y – m – 1} \right)^2} = 2{m^2} + 2\left( 1 \right)
\end{array}$
$ \to I\left( {m;m + 1} \right) \to I \in \left( d \right):x – y + 1 = 0$
Vậy $I\in \left( d \right):x – y + 1 = 0$
b) Ta có:
Từ $\left( 1 \right) \to R = \sqrt {2{m^2} + 2} \ge \sqrt {2},\forall m$
Suy ra: $MinR = \sqrt 2 $
Dấu bằng xảy ra: $ \Leftrightarrow m = 0 \Rightarrow \left( C \right):{x^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} = 2$
Vậy $\left( C \right):{x^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} = 2$
c) Gọi $A(x_0,y_0)$ là điểm cố định mà mọi đường tròn $(C_m)$ đi qua.
Ta có:
$\begin{array}{l}
{\left( {{x_0} – m} \right)^2} + {\left( {{y_0} – m – 1} \right)^2} = {\left( {m – 1} \right)^2} + {\left( {m + 1} \right)^2}\\
\Leftrightarrow {\left( {{x_0} – m} \right)^2} – {\left( {m – 1} \right)^2} + {\left( {{y_0} – m – 1} \right)^2} – {\left( {m + 1} \right)^2} = 0\\
\Leftrightarrow \left( {{x_0} – 2m + 1} \right)\left( {{x_0} – 1} \right) + \left( {{y_0} – 2m – 2} \right){y_0} = 0(2)
\end{array}$
Suy ra $A(1;0)$ luôn thỏa mãn (2) với mọi $m$.
Vậy $A(1;0)$ luôn thuộc $(C_m)$ với mọi $m$
d) $(C_m)$ cắt $Oy$ $\to $ Hoành độ giao điểm của $(C_m)$ với $Oy$ là: $0$
Khi đó ta có tung độ của giao điểm của $(C_m)$ với $Oy$ thỏa mãn phương trình:
$\begin{array}{l}
{\left( {0 – m} \right)^2} + {\left( {y – m – 1} \right)^2} = 2{m^2} + 2\\
\Leftrightarrow {\left( {y – m – 1} \right)^2} = {m^2} + 2\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = m + 1 + \sqrt {{m^2} + 2} \\
y = m + 1 – \sqrt {{m^2} + 2}
\end{array} \right.
\end{array}$
Suy ra $(C_m)$ cắt $Oy$ tại 2 điểm phân biệt.