Cho họ đường cong : (Cm) : x²+y²–2mx–2(m+1)y+2m–1=0 a, chứng minh rằng với mọi m luôn có (Cm) là phương trình của một đường tròn b, tìm tập hợp tâm

Giải thích các bước giải:

 a.Ta có :
$x^2+y^2-2mx-2(m+1)y+2m-1=0$

$\to (x^2-2mx+m^2)+(y^2-2(m+1)y+(m+1)^2) =m^2+(m+1)^2-2m+1$

$\to(x-m)^2+(y-m-1)^2=2m^2+2$

Vì $2m^2+2>0\quad\forall m$

$\to (Cm)$ là phương trình đường tròn với mọi m

b.Từ câu a $\to I(m,m+1)$ là tâm của đường tròn

$\to x_I-y_I=-1\to x_I-y_I+1=0$

$\to I\in x-y+1=0\to $Tập hợp tâm đường tròn (Cm) là đường thẳng $x-y+1=0$

c.Từ câu a$\to R^2=2m^2+2\ge 2\to R\sqrt{2}$

$\to$Đường tròn có bán kính nhỏ nhất khi $R=\sqrt{2}\to m=0$

$\to (C): x^2+(y-1)^2=2$

d.Ta có :
$x^2+y^2-2mx-2(m+1)y+2m-1=0$

$\to (x^2+y^2-2y-1)-2m(x+y-1)=0$

$\to$ (Cm) luôn đi qua các điểm thỏa mãn 

$\begin{cases}x^2+y^2-2y-1=0\\ x+y-1=0\end{cases}$

$\to\begin{cases}(1-y)^2+y^2-2y-1=0\\ x=1-y\end{cases}$

$\to\begin{cases}2y^2-4y=0\\ x=1-y\end{cases}$

$\to\begin{cases}2y(y-2)=0\\ x=1-y\end{cases}$

$\to\begin{cases}y=0, x=1\\ y=2,x=-1\end{cases}$

$\to (1,0), (-1,2)$ là điểm cố định mà mọi đường tròn (Cm) đều đi qua

e.Ta có phương trình giao điểm của Oy và (Cm) là :
$0^2+y^2-2m\cdot0-2(m+1)y+2m-1=0(*)$

$\to y^2-2(m+1)y+2m-1=0$

$\to\Delta’=(m+1)^2-(2m-1)=m^2+2>0$

$\to (*)$ luôn có 2 nghiệm với mọi m

$\to (Cm)\cap (Oy) $ tại 2 điểm phân biệt với mọi m