Cho hpt 3x+(m-1)y=12 và (m-1)x+12y=24 a) tìm m để hệ có nghiệm duy nhất t/m x+y=1 b) tìm m nguyên để hệ có nghi

Đáp án:

a) $\left\{\begin{array}{l}
m = 31\\
m = 7
\end{array} \right.$

b) $m=\{7,-17,1,-11,-3,-7,-4,-6\}$

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l}
a.\left\{ \begin{array}{l}
x +y=1\\
3x+(m-1)y= 12\\
(m-1)x+12y = 24
\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}
x = 1 – y\\
3 – 3y + my – y = 12\\
m – my + y – 1 + 12y = 24
\end{array} \right.\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
x = 1 – y\\
y = \frac{9}{{m – 4}}\\
m – \frac{{9m}}{{m – 4}} + \frac{9}{{m – 4}} + \frac{{108}}{{m – 4}} = 25\left( * \right)
\end{array} \right.\\
\left( * \right) \to {m^2} – 4m – 9m + 117 = 25m – 100\\
 \to \left[ \begin{array}{l}
m = 31\\
m = 7
\end{array} \right.
\end{array}\)

b. Để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{12 – \left( {m – 1} \right)y}}{3}\\
\frac{{12 – \left( {m – 1} \right)y}}{3}.\left( {m – 1} \right) + 12y = 24\left( * \right)
\end{array} \right.\\
\left( * \right) \to 12m – 12 – {\left( {m – 1} \right)^2}y + 36y = 72\\
 \to y\left[ {36 – {{\left( {m – 1} \right)}^2}} \right] = 84 – 12m\\
 \to y\left( {7 – m} \right)\left( {5 + m} \right) = 12\left( {7 – m} \right)\\
 \to y = \frac{{12}}{{5 + m}}\\
 \to x = \frac{{12 – \left( {m – 1} \right)y}}{3} = \frac{{12 – \frac{{12m – 12}}{{5 + m}}}}{3} = \frac{{60 + 12m – 12m + 12}}{{15 + 3m}} = 2.\frac{{12}}{{5 + m}}\\
Do:\left\{ \begin{array}{l}
x \in Z\\
y \in Z
\end{array} \right. \to \left[ \begin{array}{l}
5 + m = 12\left( l \right)\\
5 + m =  – 12\left( l \right)\\
5 + m = 6\left( l \right)\\
5 + m =  – 6\left( l \right)\\
5 + m = 2\\
5 + m =  – 2\left( l \right)\\
5 + m = 1\left( l \right)\\
5 + m =  – 1
\end{array} \right. \to \left[ \begin{array}{l}
m=7\\m=-17\\m=1\\m=-11\\m=-3\\m=-7\\m=-4\\m=-6
\end{array} \right.
\end{array}\)