Cho hs y=-x^3+(2m+1)x^2-m-1(c) , y =2mx-m-1(d).Tìm m sao cho d cắt c tại 3 điểm phân biệt a, b,c sao cho (oa)^2+(ob)^2+(oc)^2 đạt GTNN

0 bình luận về “Cho hs y=-x^3+(2m+1)x^2-m-1(c) , y =2mx-m-1(d).Tìm m sao cho d cắt c tại 3 điểm phân biệt a, b,c sao cho (oa)^2+(ob)^2+(oc)^2 đạt GTNN”

1. Xét ptrinh hoành độ giao điểm

   $-x^3 + (2m+1)x^2 – m – 1 = 2mx – m – 1$

   $<-> -x^3 + (2m+1)x^2 – 2mx = 0$

   $<-> -x(x^2 – (2m+1)x + 2m) = 0$

   $<-> x(x-1)(x-2m) = 0$ (2)

   Để d cắt c tại 3 điểm phân biệt thì ptrinh hoành độ giao điểm phải có 3 nghiệm phân biệt. Do đó ptrinh $x – 2m = 0$ phải có nghiệm khác 0 và 1.

   Vậy $m \neq 0, \dfrac{1}{2}$.

   KHi đó, tọa độ 3 giao điểm là

   $A(0,-m-1), B(1,m-1), C(2m,4m^2-m-1)$

   Khi đó, ta có

   $OA^2 = (m+1)^2$

   $OB^2 = 1^2 + (m-1)^2$

   $OC^2 = (2m)^2 + (4m^2 – m – 1)^2$

   Vậy

   $OA^2 + OB^2 + OC^2 = m^2 + 2m + 1 + 1 + m^2 – 2m + 1 + 4m^2 + (4m^2 – m – 1)^2$

   $= 6m^2 +3 + (4m^2 – m -1)^2$

   $= 6m^2 + 3 + 16m^4 + m^2 + 1 -8m^3 + 2m -8m^2$

   $= 16m^4 -8m^3 -m^2 +2m + 4$

   Xét hso $y = 16m^4 – 8m^3 – m^2 + 2m + 4$

   Ta có

   $y’ = 64m^3 – 24m^2 -2m + 2$

   Xét ptrinh $y’ = 0$

   $64m^3 – 24m^2 -2m + 2 = 0$

   $<-> (4m+1)(16m^2 -10m +2) = 0$

   Ta có $16m^2 – 10 m + 2 > 0$

   Vậy $ m = -\dfrac{1}{4}$ là điểm cực trị duy nhất.

   Ta xét $y” = 192x^2 – 48x – 2$. Khi đó $y”(-\dfrac{1}{4}) = 22>0$

   Do đó $m = -\dfrac{1}{4}$ là điểm cực tiểu.

   Khi đó, tọa độ điểm cực tiểu là $(-\dfrac{1}{4},\dfrac{29}{8})$

   Vậy $OA^2 + OB^2 + OC^2$ đạt GTNN là $\dfrac{29}{8}$ với $m = -\dfrac{1}{4}$.

   Trả lời