Cho hs y=(m-1)x+m (1) a)Xác định m để đường (1)là tiếp tuyến của đường tròn tâm (O)bán kính bằng √2(với O là gốc tọa độ của mặt phẳng Oxy)

Đáp án: $m=2$

Giải thích các bước giải:

Với $m=1\to y=1\to d(O, (d))=1<\sqrt{2}$

$\to (d)$ không là tiếp tuyến của $(O,\sqrt{2})$

$\to m\ne 1$

$\to (d)\cap Ox=A(-\dfrac{m}{m-1}, 0), (d)\cap Oy=B(0,m)$

Gọi $OH\perp AB$

Để $(d)$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to OH=\sqrt{2}$

Ta có $A\in Ox, B\in Oy\to \Delta OAB$ vuông tại $O$

Mà $OH\perp AB$

$\to\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{OA^2}+\dfrac{1}{OB^2}$(Hệ thức lượng trong tam giác vuông

$\to\dfrac{1}{(\sqrt{2})^2}=\dfrac{1}{(-\dfrac{m}{m-1})^2}+\dfrac{1}{m^2}$

$\to \dfrac12=\dfrac{(m-1)^2+1}{m^2}$

$\to m^2=2\left(m-1\right)^2+2$

$\to m^2=2m^2-4m+4$

$\to m^2-4m+4=0$

$\to (m-2)^2=0$

$\to m-2=0$

$\to m=2$