Cho khai triển: (3-x/2)^n = a0 + a1x + a2x +…+anx^n biết rằng:
a0 + 2a1 + 2^2a2 +….+2^nan = 1024. Tìm hệ số của x^6 trong khai triển trên
Cho khai triển: (3-x/2)^n = a0 + a1x + a2x +…+anx^n biết rằng:
a0 + 2a1 + 2^2a2 +….+2^nan = 1024. Tìm hệ số của x^6 trong khai triển trên
Ta có
$\left( 3 – \dfrac{x}{2} \right)^n = a_0 + a_1.x + a_2 . x^2 + \cdots + a_n x^n$
và
$a_0 + a_1 . 2 + a_2 . 2^2 + \cdots + a_n . 2^n = 1024$
Ta thấy biểu thức đã cho chính là vế phải của đẳng thức ban đầu và thay $x = 2$ vào. Do đó, ta có
$\left( 3 – \dfrac{2}{2} \right)^n = 1024$
$<-> (3-1)^n = 1024$
$<-> 2^n = 2^{11}$
$<-> n = 11$
Theo nhị thức Newton ta có
$\left( 3 – \dfrac{x}{2} \right)^{11} = \displaystyle \sum_{i=0}^{11} C_{11}^i . 3^{11-i} . x^i . 2^{-i}$
Để tìm hệ số của $x^6$ thì ta có $i = 6$. Vậy hệ số là
$C_{11}^6 . 3^5 . 2^{-6}$