Cho khai triển ($x$+$\frac{1}{3}$)$^{n}$.Tìm n, biết số hạng thứ 3 bằng 5 giúp ạ thxxx

Đáp án:

$n = 10$

Giải thích các bước giải:

Áp dụng công thức khai triển của Nhị thức $Newton$ ta có:

Số hạng tổng quát của $\left(x + \dfrac{1}{3}\right)^n$ có dạng:

$\mathop{\sum}\limits_{k = 0}^nC_n^kx^{n-k}.\left(\dfrac{1}{3}\right)^k$  $(n \in \Bbb N^*)$

Số hạng thứ 3 trong khai triển ứng với $k = 2$, theo đề ta có:

$C_n^2.\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = 5$

$\Leftrightarrow C_n^2 = 45$

$\Leftrightarrow \dfrac{n!}{2!(n-2)!} = 45$

$\Leftrightarrow n(n -1) = 90$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}n = -9\quad (loại)\\n = 10\quad (nhận)\end{array}\right.$

Vậy $n = 10$