Cho m;n ∈N t/m: $2m^2+m=3n^2+n$ cm: $2m+2n+1$ là số chính phương Ý tưởng thấy đúng: $2m^2+m=3n^2+n$ ⇔$2m^2-2n^2+m-n=n^2$ ⇔$(m-n)(2n+2m+1)=n^2

0 bình luận về “Cho m;n ∈N t/m: $2m^2+m=3n^2+n$ cm: $2m+2n+1$ là số chính phương Ý tưởng thấy đúng: $2m^2+m=3n^2+n$ ⇔$2m^2-2n^2+m-n=n^2$ ⇔$(m-n)(2n+2m+1)=n^2”

1. Mặt khác $3m^2-3n^2+m-n=m^2$

   $⇔3.(m-n)(m+n)+m-n=m^2$

   $⇔(m-n)(3m+3n+1)=m^2$

   Nhân cả 2 pt vào với nhau ta được:

   $(m-n)^2.(2m+2n+1).(3m+3n+1)=(mn)^2$

   Xét $(m-n)^2=0⇔m=n⇒2m^2+m=3m^2+m⇔m=0⇒n=0⇒2m+2n+1=1$ (đúng)

   Xét $(m-n)^2 \neq 0$ do $(m-n)^2;(mn)^2$ là các số chính phương $∀m;n∈N$

   $⇒(2m+2n+1).(3m+3n+1)$ là số chính phương

   Gọi $ƯCLN(2m+2n+1;3m+3n+1)=d$

   $⇒\begin{cases}2m+2n+1 \vdots d\\3m+3n+1\vdots d \end{cases}$

   $⇔\begin{cases}3.(2m+2n+1) \vdots d\\2.(3m+3n+1)\vdots d \end{cases}$

   $⇔\begin{cases}6m+6n+3 \vdots d\\6m+6n+2\vdots d \end{cases}$

   $⇒6m+6n+3-6m-6n-2=1 \vdots d⇒d=1$

   Nên $ƯCLN(2m+2n+1;3m+3n+1)=1$

   $(2m+2n+1).(3m+3n+1)$ là số chính phương

   $⇒(2m+2n+1); (3m+3n+1)$ là số chính phương

   (đpcm)

    

   Bình luận

2. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

    Đến đoạn của bạn,giờ ta phải chứng minh nguyên tó cùng nhau

   Gọi $ƯCLN(m-n;2m+2n+1)=d$

   ⇒$m-n\vdots d $

      $2m+2n+1 \vdots d$

   ⇒$2m-2n \vdots d$

     $2m+2n+1\vdots d$

   ⇒$4n+1 \vdots d(1)$

   Có $(m-n)(2m+2n+1)=n^2$

   mà $m-n \vdots d$

      $2m+2n +1\vdots d$

   ⇒$(m-n)(2m+2n+1)\vdots d^2$

   ⇒$n^2 \vdots d^2$

   ⇒$n \vdots d(2)$

   Từ $(1);(2)$

   ⇒$1 \vdots d$

   ⇒$(m-n;2m+2n+1)$là nguyên tố cùng nhau

   mà$ (m-n)(2m+2n+1)$là số cp

   ⇒$ (m-n) ; (2m+2n+1)$là số cp

   Bình luận