Cho m,n ∈ N thỏa mãn $2m^{2}-m=3n^2+n$ CMR m+n là số chính phương 01/11/2021 Bởi Clara Cho m,n ∈ N thỏa mãn $2m^{2}-m=3n^2+n$ CMR m+n là số chính phương
2m²-m=3n²+n ⇒3m²-m-3n²-n=m² ⇒3(m-n)(m+n)-(m+n)=m² ⇒(m+n)(3m-3n-1)=m² Giả sử m+n, 3m-3n-1 đều chia hết cho d (d∈N*,d>1) ⇒m² $\vdots$ d ⇒m $\vdots$ d Mà m+n$\vdots$d ⇒n $\vdots$ d ⇒3m-3n-1 chia d dư 2 ⇒3m-3n-1$\not\vdots$ d(Trái với giả sử) ⇒m+n, 3m-3n-1 nguyên tố cùng nhau Mà (m+n)(3m-3n-1)=m² là SCP ⇒m+n, 3m-3n-1 đều là SCP Vậy m+n là số chính phương Bình luận
2m²-m=3n²+n
⇒3m²-m-3n²-n=m²
⇒3(m-n)(m+n)-(m+n)=m²
⇒(m+n)(3m-3n-1)=m²
Giả sử m+n, 3m-3n-1 đều chia hết cho d (d∈N*,d>1)
⇒m² $\vdots$ d
⇒m $\vdots$ d
Mà m+n$\vdots$d
⇒n $\vdots$ d
⇒3m-3n-1 chia d dư 2
⇒3m-3n-1$\not\vdots$ d(Trái với giả sử)
⇒m+n, 3m-3n-1 nguyên tố cùng nhau
Mà (m+n)(3m-3n-1)=m² là SCP
⇒m+n, 3m-3n-1 đều là SCP
Vậy m+n là số chính phương
Đáp án:
Giải thích các bước giải: