Cho mặt cầu (S) có đường kính là AB biết rằng A(6; 2; -5), B(-4; 0; 7)
a) Tìm tọa độ tâm I và bán kính r của mặt cầu (S).
b) Lập phương trình của mặt cầu (S).
c) Lập phương trình của mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm A
Lời giải:
Cho mặt cầu (S) có đường kính là AB biết rằng A(6; 2; -5), B(-4; 0; 7) a) Tìm tọa độ tâm I và bán kính r của mặt cầu (S). b) Lập phương trình của mặt
By Hadley
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a) Tìm toạ độ tâm \(I\) và tính bán kính \(r\) của mặt cầu \((S)\)
Tâm \(I\) của mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\): \(I\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right) = \left( {1;1;1} \right)\)
\(A{B^2} = {\rm{ }}{\left( { – 4{\rm{ }} – {\rm{ }}6} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {{\rm{ }}0{\rm{ }} – {\rm{ }}2} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {7{\rm{ }} + {\rm{ }}5} \right)^2} = {\rm{ }}248\)
\( \Rightarrow AB = \sqrt {248} = 2\sqrt {62} \)
Vậy \(R = {{AB} \over 2} = \sqrt {62} \)
b) Lập phương trình của mặt cầu \((S)\).
Phương trình mặt cầu \((S)\)
\({\left( {x{\rm{ }} – {\rm{ }}1} \right)^2}{\rm{ }} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }} – {\rm{ }}1} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {z{\rm{ }} – {\rm{ }}1} \right)^{2}} = {\rm{ }}62\)
\( \Leftrightarrow \) \({x^2}{\rm{ }} + {\rm{ }}{y^2} + {\rm{ }}{z^2} – {\rm{ }}2x{\rm{ }} – {\rm{ }}2y{\rm{ }} – {\rm{ }}2z{\rm{ }} – {\rm{ }}59{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
c) Lập phương trình của mặt phẳng \((α)\) tiếp xúc với mặt cầu \((S)\) tại điểm \(A\).
Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm \(A\) chính là mặt phẳng qua \(A\) và vuông góc với bán kính \(IA\). Ta có:
\(\overrightarrow {IA} = (5; 1 ; -6)\)
Phương trình mặt phẳng cần tìm là: \(5(x – 6) + 1(y – 2) – 6(z + 5) = 0\)
\( \Leftrightarrow 5x + y – 6z – 62 = 0\)
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a) Ta có:
Tâm của mặt cầu (S) là trung điểm I (1; 1; 1) của đoạn thẳng AB và bán kính của mặt cầu (S) là R = IA = √62
b) Mặt cầu (S) có phương trình là
(x – 1)2 + (y – 1)2 + (z – 1)2 = 62
c) (α) tiếp xúc với (S) tại A
⇒ (α) ⊥ IA
⇒ (α) nhận là vectơ pháp tuyến
(α) đi qua A(6; 2; -5)
⇒ (α): 5x + y – 6z – 62 = 0.