Toán Cho mình hỏi từ (a+b+c)^2 làm sao để ra (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 17/07/2021 By Harper Cho mình hỏi từ (a+b+c)^2 làm sao để ra (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2
xét `a=b=c=0` ⇒thỏa mãn xét trường hợp khác `(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac` mặt khác : `(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2` `=2a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ac` `=(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac)+a^2+b^2+c^2-4ab-4bc-4ac` để `(a+b+c)^2=(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2` `⇒a^2+b^2+c^2-4ab-4bc-4ac=0` `⇔a^2+b^2+c^2=4ab+4abc+4ac` `⇒`loại `⇒(a+b+c)^2` không thể bằng`(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2` trừ khi `a=b=c=0` Trả lời
Trừ `(a+b+c)^2` cho `3(a^2+b^2+c^2)` Ta có: `(a+b+c)^2-3(a^2+b^2+c^2)` `=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac-3a^2-3b^2-3c^2` `=-2a^2-2b^2-2c^2+2ab+2bc+2ac` `=-(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac)` `=-(a^2+a^2+b^2+b^2+c^2+c^2-2ab-2bc-2ac)` `=-[(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(a^2-2ac+c^2)]` `=-[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]` (hình như ra rồi đó ak) Trả lời
xét
`a=b=c=0`
⇒thỏa mãn
xét trường hợp khác
`(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac`
mặt khác :
`(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2`
`=2a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ac`
`=(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac)+a^2+b^2+c^2-4ab-4bc-4ac`
để `(a+b+c)^2=(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2`
`⇒a^2+b^2+c^2-4ab-4bc-4ac=0`
`⇔a^2+b^2+c^2=4ab+4abc+4ac`
`⇒`loại
`⇒(a+b+c)^2` không thể bằng`(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2`
trừ khi `a=b=c=0`
Trừ `(a+b+c)^2` cho `3(a^2+b^2+c^2)`
Ta có:
`(a+b+c)^2-3(a^2+b^2+c^2)`
`=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac-3a^2-3b^2-3c^2`
`=-2a^2-2b^2-2c^2+2ab+2bc+2ac`
`=-(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac)`
`=-(a^2+a^2+b^2+b^2+c^2+c^2-2ab-2bc-2ac)`
`=-[(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(a^2-2ac+c^2)]`
`=-[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]` (hình như ra rồi đó ak)