Cho một tam giác vuông cân. Chứng minh rằng tổng diện tích của hai hình vuông dựng trên 2 cạnh góc vuông bằng diện tích của hình vuông dựng trên cạnh huyền ( không sử dụng định lí Py-ta-go)
Cho một tam giác vuông cân. Chứng minh rằng tổng diện tích của hai hình vuông dựng trên 2 cạnh góc vuông bằng diện tích của hình vuông dựng trên cạnh huyền ( không sử dụng định lí Py-ta-go)
Dơ an sơ
Gọi S = diện tích của hình tam giác ABC
Hình vuông có cạnh AB chia thành hai tam giác vuông cân bằng hình tam giác ABC nên diện tích hình vuông cạnh AB bằng 2S
Hình vuông có cạnh AC chia thành hai tam giác vuông cân bằng hình tam giác ABC nên có diện tích bằng 2S
Hình vuông BC chia thành 4 hình tam giác vuông cân bằng hình tam giác ABC nên có diện tích bằng 4S
Vì 4S = 2S + 2S nên diện tích hình vuông dựng trên hai cạnh huyền bằng tổng diên tích hai hình vuông dựng trên hai cạnh góc vuông.
Giả sử: $ΔABC$ vuông cân tại $A$
Kẻ hình vuông về phía ngoài $ΔABC$ các hình vuông $ABB_1A_1,AA_2C_1C,BCC_2B_2$
Ta có:
$S_{ABB_1A_1}=AB^2\\S_{ACC_1A_2}=AC^2\\S_{BCC_2B_2}=BC^2$
Kẻ đường cao $AH$
Xét $ΔBHA$ và $ΔBAC$:
$\widehat{ABH}\,\,hay\,\,\widehat{CBA}:chung$
$\widehat{BHA}=\widehat{BAC}(=90^\circ)$
$→ΔBHA\backsim ΔBAC(g-g)$
$→\dfrac{AB}{BH}=\dfrac{BC}{AB}$
$↔AB^2=BH.BC$
Xét $ΔCHA$ và $ΔCAB$:
$\widehat{ACH}\,\,hay\,\,\widehat{BCA}:chung$
$\widehat{CHA}=\widehat{CAB}(=90^\circ)$
$→ΔCHA\backsim ΔCAB(g-g)$
$→\dfrac{AC}{CH}=\dfrac{BC}{AC}$
$↔AC^2=CH.BC$
$AB^2+AC^2=BH.BC+CH.BC=BC(BH+CH)=BC.BC=BC^2\\→S_{ABB_1A_1}+S_{ACC_1A_2}=S_{BCC_2B_2}$
$→$ ĐPCM