cho N =0,7.(2007^2009 – 2013^1999).chứng minh rằng :N là một số nguyên 10/09/2021 Bởi Melanie cho N =0,7.(2007^2009 – 2013^1999).chứng minh rằng :N là một số nguyên
Giải thích các bước giải: Ta có: \[\begin{array}{l} + )2007 \equiv 7\left( {\bmod 10} \right) \Rightarrow {2007^{2009}} \equiv {7^{2009}}\left( {\bmod 10} \right)\\{7^4} \equiv 1\left( {\bmod 10} \right) \Rightarrow {7^{2009}} = {7^{4.502 + 1}} = {\left( {{7^4}} \right)^{502}}.7 \equiv {1^{502}}.7 = 7\left( {\bmod 10} \right)\\ \Rightarrow {2007^{2009}} \equiv 7\left( {\bmod 10} \right)\\ + )2013 \equiv 3\left( {\bmod 10} \right) \Rightarrow {2013^{1999}} \equiv {3^{1999}}\left( {\bmod 10} \right)\\{3^4} \equiv 1\left( {\bmod 10} \right) \Rightarrow {3^{1999}} = {3^{4.499 + 3}} = {\left( {{3^4}} \right)^{499}}{.3^3} \equiv {1^{499}}{.3^3} = 27 \equiv 7\left( {\bmod 10} \right)\\ \Rightarrow {2013^{1999}} \equiv 7\left( {\bmod 10} \right)\\ \Rightarrow {2007^{2009}} – {2013^{1999}} \equiv 0\left( {\bmod 10} \right)\\ \Rightarrow {2007^{2009}} – {2013^{1999}} = 10k\left( {k \in Z} \right)\\ \Rightarrow 0,7\left( {{{2007}^{2009}} – {{2013}^{1999}}} \right) = 0,7.10k = 7k \in Z\end{array}\] Điều phải chứng minh. Bình luận
Ta có: 20072009 = 2007.(20072)100 = 2007.(…9)1004 = 2007.(…1) (Vì số có tận cùng = 9 mũ chẵn lên có tận cùng = 1) = (…7) (Có tận cùng là 7) Ta có: 20131999 = 20133.(20132)998 = (…7).(…9)998 = (…7).(…1) (Vì số có tận cùng = 9 mũ chẵn lên có tận cùng = 1) = (…7) (Có tận cùng là 7) \(\Rightarrow\)20072009-20131999 = (…7)-(…7) = (…0) \(\Rightarrow\)N là một số nguyên Bình luận
Giải thích các bước giải:
Ta có:
\[\begin{array}{l}
+ )2007 \equiv 7\left( {\bmod 10} \right) \Rightarrow {2007^{2009}} \equiv {7^{2009}}\left( {\bmod 10} \right)\\
{7^4} \equiv 1\left( {\bmod 10} \right) \Rightarrow {7^{2009}} = {7^{4.502 + 1}} = {\left( {{7^4}} \right)^{502}}.7 \equiv {1^{502}}.7 = 7\left( {\bmod 10} \right)\\
\Rightarrow {2007^{2009}} \equiv 7\left( {\bmod 10} \right)\\
+ )2013 \equiv 3\left( {\bmod 10} \right) \Rightarrow {2013^{1999}} \equiv {3^{1999}}\left( {\bmod 10} \right)\\
{3^4} \equiv 1\left( {\bmod 10} \right) \Rightarrow {3^{1999}} = {3^{4.499 + 3}} = {\left( {{3^4}} \right)^{499}}{.3^3} \equiv {1^{499}}{.3^3} = 27 \equiv 7\left( {\bmod 10} \right)\\
\Rightarrow {2013^{1999}} \equiv 7\left( {\bmod 10} \right)\\
\Rightarrow {2007^{2009}} – {2013^{1999}} \equiv 0\left( {\bmod 10} \right)\\
\Rightarrow {2007^{2009}} – {2013^{1999}} = 10k\left( {k \in Z} \right)\\
\Rightarrow 0,7\left( {{{2007}^{2009}} – {{2013}^{1999}}} \right) = 0,7.10k = 7k \in Z
\end{array}\]
Điều phải chứng minh.
Ta có:
20072009 = 2007.(20072)100
= 2007.(…9)1004
= 2007.(…1) (Vì số có tận cùng = 9 mũ chẵn lên có tận cùng = 1)
= (…7) (Có tận cùng là 7)
Ta có:
20131999 = 20133.(20132)998
= (…7).(…9)998
= (…7).(…1) (Vì số có tận cùng = 9 mũ chẵn lên có tận cùng = 1)
= (…7) (Có tận cùng là 7)
\(\Rightarrow\)20072009-20131999 = (…7)-(…7) = (…0)
\(\Rightarrow\)N là một số nguyên