Cho `n in` $N^{*}$ . CMR : `a^n + b^n >= 1/(2^{n – 1}) . (a + b)^n`

Giải thích các bước giải:

Với $n=1\to$Bất đẳng thức trở thành:
$a^1+b^1\ge \dfrac{1}{2^{1-1}}\cdot (a+b)^1$ đúng

Giả sử bất đẳng thức đúng với $n=k$

$\to a^k+b^k\ge \dfrac{1}{2^{k-1}}\cdot (a+b)^k$

Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với $n=k+1$

Thật vậy ta có:

$(\dfrac{a+b}{2})^{k+1}=\dfrac{a+b}{2}\cdot (\dfrac{a+b}{2})^k\le \dfrac{a+b}{2}\cdot \dfrac{a^k+b^k}{2}$

$\to (\dfrac{a+b}{2})^{k+1}\le \dfrac{(a+b)(a^k+b^k)}{4}$

$\to (\dfrac{a+b}{2})^{k+1}\le \dfrac{a^{k+1}+b^{k+1}+ab^k+ba^k}{4}$

Ta có $(a^k-b^k)(a-b)=(a-b)^2(a^{k-1}+a^{k-2}b+…+ab^{k-2}+b^{k-1})\ge 0$

$\to a^k(a-b)-b^k(a-b)\ge 0$

$\to a^{k+1}-a^kb+b^ka+b^{k+1}\ge 0$

$\to a^kb+b^ka\le a^{k+1}+b^{k+1}$

$\to \dfrac{a^{k+1}+b^{k+1}+ab^k+ba^k}{4}\le \dfrac{2(a^{k+1}+b^{k+1})}{4}=\dfrac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2}$

$\to (\dfrac{a+b}{2})^{k+1}\le \dfrac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2}$

$\to a^{k+1}+b^{k+1}\ge \dfrac{1}{2^k}\cdot (a+b)^{k+1}$

$\to n=k+1$ đúng

$\to$Bất đẳng thức đã cho đúng