Cho n là số nguyên lẻ. Chứng minh :
a, `n^2 + 4n + 3` chia hết cho 8
b, ` n^3 + 3n^2 – n – 3` chia hết cho 48
Cho n là số nguyên lẻ. Chứng minh :
a, `n^2 + 4n + 3` chia hết cho 8
b, ` n^3 + 3n^2 – n – 3` chia hết cho 48
Đáp án:
a, Đặt `A = n^2 + 4n + 3 =(n + 1)(n + 3)
Do `n` là số nguyên lẻ , Đặt `n = 2k+ 1 (k in Z)`
`-> A = (2k + 1 + 1)(2k + 1 + 3) = (2k + 2)(2k + 4) = 4(k + 1)(k + 2)`
Do `k + 1 , k + 2` là `2` số nguyên liên tiếp
`-> (k+ 1)(k+ 2)` chia hết cho `2`
`-> 4(k + 1)(k + 2)` chia hết cho `8`
`-> đ.p.c.m`
b, Đặt `A = n^3 + 3n^2 – n – 3`
`= n^2(n+ 3) – (n + 3)`
`= (n + 3)(n^2 – 1)`
`= (n – 1)(n + 1)(n + 3)`
Đặt `n = 2k + 1 (k in Z)`
`-> A = (2k + 1 – 1)(2k + 1 + 1)(2k + 1 + 3)`
`= 2k(2k + 2)(2k + 4)`
`= 8k(k + 1)(k+ 2)`
Do `k , k + 1 , k + 2` là `3` số nguyên liên tiếp
`-> k(k + 1)(k + 2)` chia hết cho `3 (1)`
`k + 1 , k + 2` là `2` số nguyên liên tiếp
`-> (k+ 1)(k+ 2)` chia hết cho `2`
`-> k(k + 1)(k + 2)` chia hết cho `2 (2)`
Mà `(2,3) = 1` . Từ `(1)(2) -> k(k + 1)(k + 2)` chia hết cho `6`
`-> 8k(k + 1)(k+ 2)`chia hết cho `48`
`-> đ.p.c.m`
Giải thích các bước giải:
vì `n` lẻ
`⇒n `có dạng `2k+1`
`a)n^2+4n+3`
`=(n+3)(n+1)`
`⇒(2k+2)(2k+4)`
`⇒4(k+1)(k+2)`
`(k+1)(k+2)\vdots2`
`⇒4(k+1)(k+2)\vdots8`
`⇒n^2+4n+3\vdots8`
`b)n^3+3n^2-n-3`
`=(n+3)(n^2-1)`
`=(n+3)(n+1)(n-1)`
`=(2k+4)(2k+2)2k`
`=8k(k+2)(k+1)`
`k(k+2)(k+1)\vdots6`
`⇒8k(k+2)(k+1)\vdots48`
`⇒n^3+3n^2-n-3\vdots48`