cho n là số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 4 biết 2n = 10a + b (b<10). Chứng minh rằng a x b chia hết cho 6

Bởi

cho n là số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 4 biết 2n = 10a + b (b<10). Chứng minh rằng a x b chia hết cho 6

0 bình luận về “cho n là số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 4 biết 2n = 10a + b (b<10). Chứng minh rằng a x b chia hết cho 6”

  1. Đáp án: (Có gì không hiểu thì hỏi mình nha)

     

    Giải thích các bước giải:

    –Trước hết ta chứng minh 1 bổ đề: $(A^p-B^p)\vdots(A-B)(A\neq B;p∈N)$ 

    Ta có: $A^p-B^p$

    $=A^p+A^{p-1}B+A^{p-2}B^2+….+A^{p-1}B-B^p-AB^{p-1}-A^2B^{p-2}-…-A^{p-1}B$

    $=A(A^{p-1}+A^{p-2}B+A^{p-3}b^2+….+AB^{p-2}+B^{p-1})-B(B^{p-1}+AB^{p-2}+A^2B^{p-3}+…+A^{p-2}B+A^{p-1})$

    $=(A-B)(A^{p-1}+A^{p-2}B+A^{p-3}b^2+….+AB^{p-2}+B^{p-1})$

    Dễ thấy $(A^p-B^p)\vdots(A-B)$ (đpcm)

    –Trở lại bài toán:

    Đặt $n=4k+m(m,k∈N;m≤3;k≥2)$

    Xét 2 trường hợp:

    Trường hợp 1: Nếu $m=0$

    $⇒n=4k⇒2^n=2^{4k}=16^k$

    Ta thấy $16^k$ luôn có tận cùng là 6

    $⇒n=10x+6(x∈N*)$

    $⇒b=6\vdots6$

    $⇒ab\vdots6$ (đpcm)

    Trường hợp 2: Nếu $m>0$

    Mà $m∈N;m≤3⇒2≤2^m<10$

    Xét $2^n-2^m=2^{4k+m}-2^m=2^m(2^{4k}-1)=2^m(16^k-1^k)$

    Theo bổ đề, ta có: $(16^k-1^k)\vdots(16-1=15)$

    $⇒2^m(16^k-1^k)\vdots(15.2=30)$

    $⇒2^m(16^k-1^k)\vdots(10);2^m(16^k-1^k)\vdots3$

    $⇒(2^n-2^m)\vdots(10)(1);(2^n-2^m)\vdots3(2)$

    Từ $(1)⇒2^n-2^m$ có tận cùng 0

    $⇒2^n$ có tận cùng $2^m$ 

    $⇒10a+b$ có tận cùng $2^m$ 

    $⇒b$ có tận cùng $2^m$ 

    Mà $b≤10;2≤2^m<10$

    $⇒b=2^m\vdots2(*)$

    Từ $(2)⇒2^n-b\vdots3$

    $⇒10a\vdots3$

    $⇒a\vdots3(**)$ (do $(10;3)=1$) 

    Từ $(*);(**)$, do $(3;2)=1$

    $⇒ab\vdots(3.2=6)$ (đpcm)

    Bình luận

Viết một bình luận