cho n thuộc N và n > 1 chứng minh 1/n – 1/n+1 < 1/n^2 < 1/n-1 - 1/n 28/11/2021 Bởi Katherine cho n thuộc N và n > 1 chứng minh 1/n – 1/n+1 < 1/n^2 < 1/n-1 - 1/n
Đáp án: $\hspace{3,5cm}\dfrac 1n-\dfrac 1{n+1}<\dfrac 1{n^2}<\dfrac 1{n-1}-\dfrac 1n$ Giải thích các bước giải: Ta có: $n>1\to n>0$ $\to n^2<n^2+n$ $\to n^2<n(n+1)$ $\to \dfrac 1{n^2}>\dfrac 1{n(n+1)}$ $\to \dfrac 1{n^2}>\dfrac{(n+1)-n}{n(n+1)}$ $\to \dfrac 1{n^2}>\dfrac 1n-\dfrac 1{n+1}\qquad (1)$ Vì $n>0\to -n<0$ $\to n^2>(n-1)n$ $\to \dfrac 1{n^2}<\dfrac 1{(n-1)n}$ $\to \dfrac 1{n^2}<\dfrac{n-(n-1)}{(n-1)n}$ $\to \dfrac 1{n^2}<\dfrac 1{n-1}-\dfrac 1n\qquad(2)$Từ $(1)$ và $(2)\to \dfrac 1n-\dfrac 1{n+1}<\dfrac 1{n^2}<\dfrac 1{n-1}-\dfrac 1n$ Vậy $\dfrac 1n-\dfrac 1{n+1}<\dfrac 1{n^2}<\dfrac 1{n-1}-\dfrac 1n$ Bình luận
Đáp án:
$\hspace{3,5cm}\dfrac 1n-\dfrac 1{n+1}<\dfrac 1{n^2}<\dfrac 1{n-1}-\dfrac 1n$
Giải thích các bước giải:
Ta có: $n>1\to n>0$
$\to n^2<n^2+n$
$\to n^2<n(n+1)$
$\to \dfrac 1{n^2}>\dfrac 1{n(n+1)}$
$\to \dfrac 1{n^2}>\dfrac{(n+1)-n}{n(n+1)}$
$\to \dfrac 1{n^2}>\dfrac 1n-\dfrac 1{n+1}\qquad (1)$
Vì $n>0\to -n<0$
$\to n^2>(n-1)n$
$\to \dfrac 1{n^2}<\dfrac 1{(n-1)n}$
$\to \dfrac 1{n^2}<\dfrac{n-(n-1)}{(n-1)n}$
$\to \dfrac 1{n^2}<\dfrac 1{n-1}-\dfrac 1n\qquad(2)$
Từ $(1)$ và $(2)\to \dfrac 1n-\dfrac 1{n+1}<\dfrac 1{n^2}<\dfrac 1{n-1}-\dfrac 1n$
Vậy $\dfrac 1n-\dfrac 1{n+1}<\dfrac 1{n^2}<\dfrac 1{n-1}-\dfrac 1n$