cho n thuộc N và n > 1 chứng minh 1/n – 1/n+1 < 1/n^2 < 1/n-1 - 1/n

Đáp án:

 $\hspace{3,5cm}\dfrac 1n-\dfrac 1{n+1}<\dfrac 1{n^2}<\dfrac 1{n-1}-\dfrac 1n$

Giải thích các bước giải:

Ta có: $n>1\to n>0$

$\to n^2<n^2+n$

$\to n^2<n(n+1)$

$\to \dfrac 1{n^2}>\dfrac 1{n(n+1)}$

$\to \dfrac 1{n^2}>\dfrac{(n+1)-n}{n(n+1)}$

$\to \dfrac 1{n^2}>\dfrac 1n-\dfrac 1{n+1}\qquad (1)$

Vì $n>0\to -n<0$

$\to n^2>(n-1)n$

$\to \dfrac 1{n^2}<\dfrac 1{(n-1)n}$

$\to \dfrac 1{n^2}<\dfrac{n-(n-1)}{(n-1)n}$

$\to \dfrac 1{n^2}<\dfrac 1{n-1}-\dfrac 1n\qquad(2)$
Từ $(1)$ và $(2)\to \dfrac 1n-\dfrac 1{n+1}<\dfrac 1{n^2}<\dfrac 1{n-1}-\dfrac 1n$

Vậy $\dfrac 1n-\dfrac 1{n+1}<\dfrac 1{n^2}<\dfrac 1{n-1}-\dfrac 1n$