Cho nữa đường tròn ( O ) đường kính AB. M là điểm tùy ý trên nửa đường tròn (M khác A và B). Kẻ MH vuông góc AB (H ∈ AB). Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn (O) vẽ hai nửa đường tròn tâm O1 đường kính AH và tâm O2 đường kính BH. MA và MB cắt hai nửa đường tròn (O1) và (O2) lần lượt tại P và Q.
a) Chứng minh MH = PQ
b) Chứng minh hai tam giác MPQ = MBA đồng dạng
c) Chứng minh PQ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O1) và (O2)
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a, MPHQ là hình chữ nhật => MH = PQ
b, Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông chứng minh được MP.MA = MQ.MB => ∆MPQ: ∆MBA
c, ˆPMH=ˆMBHPMH^=MBH^ => ˆPQH=ˆO2QBPQH^=O2QB^ => PQ là tiếp tuyến của (O2)O2
Tương tự PQ cũng là tiếp tuyến (O1O1)
`a)` $M$ thuộc nửa đường tròn $(O)$ đường kính $AB$
`=>∆MAB` vuông tại $M$
`=>\hat{PMQ}=90°`
$P$ thuộc nửa đường tròn $(O_1)$ đường kính $AH$
`=>∆APH` vuông tại $P$
`=>\hat{APH}=90°=>\hat{MPH}=90°`
$Q$ thuộc nửa đường tròn $(O_2)$ đường kính $BH$
`=>∆BQH` vuông tại $Q$
`=>\hat{BQH}=90°=>\hat{MQH}=90°`
Xét tứ giác $MQHP$ có:
`\hat{MPH}=\hat{PMQ}=\hat{MQH}=90°`
`=>MQPH` là hình chữ nhật
`=>MH=PQ` (đpcm)
$\\$
`b)` Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.
$∆AMH$ vuông tại $H$ có đường cao $HP$
`=>MH^2=MP.MA` $(1)$
$∆BMH$ vuông tại $H$ có đường cao $HQ$
`=>MH^2=MQ.MB` $(2)$
Từ `(1);(2)=>MP.MA=MQ.MB`
`=>{MP}/{MB}={MQ}/{MA}`
Xét $∆MPQ$ và $∆MBA$ có:
`\hat{M}` chung
`{MP}/{MB}={MQ}/{MA}`
`=>∆MPQ∽MBA(c-g-c)` (đpcm)
$\\$
`c)` Ta có:
`∆MPQ∽∆MBA`(câu b)
`=>\hat{MPQ}=\hat{MBA}`
Mà `\hat{MBA}=\hat{O_1HP}` (đồng vị do $HP$//$BM$)
`∆O_1PH` cân tại $O_1$ (do $O_1P=O_1H$)
`=>\hat{O_1PH}=\hat{O_1HP}`
`=>\hat{MPQ}=\hat{O_1PH}`
Ta có:
`\hat{O_1PQ}=\hat{O_1PH}+\hat{HPQ}`
`=\hat{MPQ}+\hat{HPQ}=\hat{MPH}=90°`
`=>PQ`$\perp O_1P$
`=>PQ` là tiếp tuyến tại $P$ của $(O_1)$
Tương tự c/m được $PQ$ là tiếp tuyến tại $Q$ của $(O_2)$
Vậy $PQ$ là tiếp tuyến chung của $(O_1)$ và $(O_2)$ (đpcm)