Cho nửa đường tròn O đường kính ab. Trên nửa đường tròn lấy 2 điểm C và D ( D thuộc cung AC) sao cho góc COD=90°. Các tia AD và BC cắt nhau ở P, AC và

a, Ta có:

* Tứ giác ABCD nội tiếp

=> \(\widehat{PCD}\) = \(\widehat{DAB}\) 

* OA = OD

=> Tam giác OAD cân tại O

=> \(\widehat{OAD}\) = \(\widehat{ODA}\) 

* Tam giác vuông ODC có OD=OC

=> \(\widehat{ODC}\) =\(\widehat{OCD}\)= 45\(^{\circ}\)

Ta có:

90\(^{\circ}\)= \(\widehat{OAD}\) = \(\widehat{ODA}\) = \(\widehat{OAD}\) + \(\widehat{ODH}\) 

90\(^{\circ}\)= \(\widehat{DCA}\) + \(\widehat{PCD}\)=\(\widehat{DCA}\) +  \(\widehat{DAB}\)

=>  \(\widehat{OAD}\) + \(\widehat{ODH}\) =\(\widehat{DCA}\) +  \(\widehat{DAB}\) ( =90\(^{\circ}\))

mà \(\widehat{OAD}\)=\(\widehat{DAB}\)

=> \(\widehat{ODH}\)=\(\widehat{DCA}\)

Gọi giao điểm giữa AC và DO là I , ta xét ΔDHI và ΔCDI có:

\(\widehat{DIC}\) chung

\(\widehat{ODH}\)=\(\widehat{DCA}\)

=> ΔDHI đồng dạng ΔCDI

=>\(\widehat{DHI}\)=\(\widehat{CDI}\)= 45\(^{\circ}\)

mà tứ giác DHCP nội tiếp

=> \(\widehat{DPC}\)=\(\widehat{DHI}\)=45\(^{\circ}\)

Xét ΔACP vuông tại C và ΔBDP vuông tại D có  \(\widehat{DPC}\)=45\(^{\circ}\)

=> ΔACP và ΔBDP  vuông cân

b, Xét ΔAPB có AH là đường cao

                         BH là đường cao

=> PH cũng là đường cao của tam giác APB

=> PH ⊥ AB