Cho nửa đường tròn (O;R),đường kính AB.M là một điểm trên nửa đường tròn,tiếp tuyến tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B ở C và D a)Chứng minh CD=AC+DB

Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

 a)Xét (O),có:

$CA=CM$ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

$BD=DM$(tính chất giống trên)

$⇒AC+BD=MC+MD$

$⇒AC+BD=DC$

Ta có:

$OC$ là phân giác của $\widehat{AOM}$ 

$OD$ là phân giác của $\widehat{BOM}$

Mà $\widehat{AOM}+\widehat{MOB}=180^o$

$⇒OC⊥OD$

$⇒ΔDOC$ vuông tại $O$

b) Xét $ΔODC$ vuông tại O,có:

$OM$ là đường cao
$⇒CM.CD=R^2$

$⇒MO^2=R^2$

$⇒AC.BD=R^2$

c)Ta có: $ΔDOC$ vuông tại O

$⇒C,O,D$ cùng thuộc đường tròn đường kính CD với S là trung điểm CD

Ta có:

$AC⊥AB$ ($AC$ là tiếp tuyến)

$BD⊥AB$ ($BD$ là tiếp tuyến)

$⇒AC//BD$

$⇒ACDB$ là hình thang

Mà $O$ là trung điểm $AB$ (AB là đường kính)

      $S$ là trung điểm $CD$ (cmt)

$⇒OS$ là đường trung bình của hình thang $ABCD$

$⇒OS//AC//BD$

Mà $AC⊥AB$

$⇒AB⊥OS$

Mà $OS=R$

$⇒AB$ là tiếp tuyến tại O của (S) đường kính CD

Ta có:

$\dfrac{HI}{CA}=\dfrac{BI}{BC}$

$\dfrac{BI}{BC}=\dfrac{MI}{CK}$

$⇒\dfrac{HI}{AC}=\dfrac{MI}{CK}$

Mà $CA=CK$

$⇒HI=IM$

$⇒I$ là trung điểm $MH$

Trả lời