Cho nửa đường tròn (O;R),đường kính AB.M là một điểm trên nửa đường tròn,tiếp tuyến tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B ở C và D
a)Chứng minh CD=AC+DB và tam giác COD vuông
b)Chứng minh: AC.BD=R ²
c)C/m AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD
d)Kẻ MH ⊥ AB tại H,MH cắt BC ở I.Chứng minh I là trung điểm của MH
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a)Xét (O),có:
$CA=CM$ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
$BD=DM$(tính chất giống trên)
$⇒AC+BD=MC+MD$
$⇒AC+BD=DC$
Ta có:
$OC$ là phân giác của $\widehat{AOM}$
$OD$ là phân giác của $\widehat{BOM}$
Mà $\widehat{AOM}+\widehat{MOB}=180^o$
$⇒OC⊥OD$
$⇒ΔDOC$ vuông tại $O$
b) Xét $ΔODC$ vuông tại O,có:
$OM$ là đường cao
$⇒CM.CD=R^2$
$⇒MO^2=R^2$
$⇒AC.BD=R^2$
c)Ta có: $ΔDOC$ vuông tại O
$⇒C,O,D$ cùng thuộc đường tròn đường kính CD với S là trung điểm CD
Ta có:
$AC⊥AB$ ($AC$ là tiếp tuyến)
$BD⊥AB$ ($BD$ là tiếp tuyến)
$⇒AC//BD$
$⇒ACDB$ là hình thang
Mà $O$ là trung điểm $AB$ (AB là đường kính)
$S$ là trung điểm $CD$ (cmt)
$⇒OS$ là đường trung bình của hình thang $ABCD$
$⇒OS//AC//BD$
Mà $AC⊥AB$
$⇒AB⊥OS$
Mà $OS=R$
$⇒AB$ là tiếp tuyến tại O của (S) đường kính CD
Ta có:
$\dfrac{HI}{CA}=\dfrac{BI}{BC}$
$\dfrac{BI}{BC}=\dfrac{MI}{CK}$
$⇒\dfrac{HI}{AC}=\dfrac{MI}{CK}$
Mà $CA=CK$
$⇒HI=IM$
$⇒I$ là trung điểm $MH$