Cho nửa đường tròn tâm Ở đường kính AB, D là điểm chính giữa của cung AB. Trên cung AB lấy C(C#B và D).Dựng tiếp tuyến với nửa đường tròn (O) tại C. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến tiếp tuyến đó,AH cắt (O) tại M (M#A). Đường thẳng vuông góc với AC kẻ từ M cắt AC tại K và cắt AB tại B
a)cm: MKCH nội tiếp
b) cm tam giác MAP cân
c) tìm vị trí của C để 3 điểm M,K,P thẳng hàng
Cho nửa đường tròn tâm Ở đường kính AB, D là điểm chính giữa của cung AB. Trên cung AB lấy C(C#B và D).Dựng tiếp tuyến với nửa đường tròn (O) tại C. G
By Camila
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
1. Tính số đo góc tam giác ACB
Vì M là điểm chính giữa cung AB nên MA=MBMA=MB (tính chất mqh giữa tiếp tuyến và dây cung) và ∠AMB=90o∠AMB=90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒ΔAMB⇒ΔAMB vuông cân tại M
⇒∠MAB=45o⇒∠MAB=45o (tính chất tam giác vuông cân)
Ta có BC là tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm O tại B
⇒∠ABC=90o⇒ΔABC⇒∠ABC=90o⇒ΔABC vuông tại B
Mà ∠MAB=45o(cmt)⇒ΔABC∠MAB=45o(cmt)⇒ΔABC vuông cân tại B (dhnb)
⇒∠ACB=45o⇒∠ACB=45o (tính chất tam giác vuông cân).
2. Chứng minh tứ giác MNDC nội tiếp trong một đường tròn.
Ta có: M là điểm chính giữa cung AB (gt)
⇒⇒ Cung AM bằng 1414 đường tròn ⇒sdcungAM=14.360o=90o⇒sdcungAM=14.360o=90o
Mà ∠ANM∠ANM là góc nội tiếp chắn cung AM
⇒∠ANM=12sdcungAM=12.90o=45o⇒∠ANM=12sdcungAM=12.90o=45o
Lại có: ∠MCD=∠ACB=45o∠MCD=∠ACB=45o (cmt)
⇒∠MCD=∠ANM=45o⇒∠MCD=∠ANM=45o
⇒⇒ Tứ giác MNDC nội tiếp trong một đường tròn (dhnb) (đpcm).
3. Chứng minh AM.AC = AN.AD = 4R2.
Xét ΔAMNΔAMN và ΔADCΔADC có:
∠Achung∠ANM=∠ACD=45o(cmt)⇒ΔAMN∼ΔADC(g−g)⇒AMAD=ANAC⇒AM.AC=AN.AD(1)∠Achung∠ANM=∠ACD=45o(cmt)⇒ΔAMN∼ΔADC(g−g)⇒AMAD=ANAC⇒AM.AC=AN.AD(1)
Áp dụng hệ thức lượng cho ΔABCΔABC vuông tại B, đường cao BM ta có:
AM.AC=AB2⇔AM.AC=(2R)2=4R2AM.AC=AB2⇔AM.AC=(2R)2=4R2 (2)
Từ (1) và (2) ⇒AM.AC=AN.AD=4R2⇒AM.AC=AN.AD=4R2
Đáp án:
1. Tính số đo góc tam giác ACB
Vì M là điểm chính giữa cung AB nên MA=MBMA=MB (tính chất mqh giữa tiếp tuyến và dây cung) và ∠AMB=90o∠AMB=90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒ΔAMB⇒ΔAMB vuông cân tại M
⇒∠MAB=45o⇒∠MAB=45o (tính chất tam giác vuông cân)
Ta có BC là tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm O tại B
⇒∠ABC=90o⇒ΔABC⇒∠ABC=90o⇒ΔABC vuông tại B
Mà ∠MAB=45o(cmt)⇒ΔABC∠MAB=45o(cmt)⇒ΔABC vuông cân tại B (dhnb)
⇒∠ACB=45o⇒∠ACB=45o (tính chất tam giác vuông cân).
2. Chứng minh tứ giác MNDC nội tiếp trong một đường tròn.
Ta có: M là điểm chính giữa cung AB (gt)
⇒⇒ Cung AM bằng 1414 đường tròn ⇒sdcungAM=14.360o=90o⇒sdcungAM=14.360o=90o
Mà ∠ANM∠ANM là góc nội tiếp chắn cung AM
⇒∠ANM=12sdcungAM=12.90o=45o⇒∠ANM=12sdcungAM=12.90o=45o
Lại có: ∠MCD=∠ACB=45o∠MCD=∠ACB=45o (cmt)
⇒∠MCD=∠ANM=45o⇒∠MCD=∠ANM=45o
⇒⇒ Tứ giác MNDC nội tiếp trong một đường tròn (dhnb) (đpcm).
3. Chứng minh AM.AC = AN.AD = 4R2.
Xét ΔAMNΔAMN và ΔADCΔADC có:
∠Achung∠ANM=∠ACD=45o(cmt)⇒ΔAMN∼ΔADC(g−g)⇒AMAD=ANAC⇒AM.AC=AN.AD(1)∠Achung∠ANM=∠ACD=45o(cmt)⇒ΔAMN∼ΔADC(g−g)⇒AMAD=ANAC⇒AM.AC=AN.AD(1)
Áp dụng hệ thức lượng cho ΔABCΔABC vuông tại B, đường cao BM ta có:
AM.AC=AB2⇔AM.AC=(2R)2=4R2AM.AC=AB2⇔AM.AC=(2R)2=4R2 (2)
Từ (1) và (2) ⇒AM.AC=AN.AD=4R2⇒AM.AC=AN.AD=4R2