Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Từ điểm M trên tiếp tuyến Ax của nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến thứ hai MC (C là tiếp điểm). Hạ CH vuông góc với

Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

 a)Ta có: $\widehat{AQB}=90^o$(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$⇒\widehat{MQA}=90^o$(kề bù$ \widehat{AQB}$) (1)

Xét $ΔMAO$ và $ΔMCO$,có:

$OA=OC$

$OM$ chung

$⇒ΔMAO=ΔMCO$

$⇒\widehat{AOM}=\widehat{COM}$

$⇒OM$ là tia phân giác của $\widehat{AOC}$

Mà $ΔAOC$ cân

$⇒OM⊥AC$

$⇒\widehat{MIA}=90^o$ (2)

Từ (1) và (2)⇒$\widehat{MIA}=\widehat{MQA}$ cùng nhìn cung MA 1 góc $90^o$

$⇒M,Q,I,A$ cùng thuộc 1 đường tròn $R=\dfrac{MA}{2}$

b)$\widehat{AQI}=\widehat{AMI}$ (3)

$\widehat{ACO}+\widehat{ACM}=90^o$

Mà $ΔAMC$ cân tại M

$⇒\widehat{ACO}+\widehat{MAC}=90^o$

Mà $\widehat{MAC}+\widehat{AMI}$

⇒$\widehat{ACO}=\widehat{AMI}$ (4)

Từ (3) và (4)⇒$\widehat{AQI}=\widehat{ACO}$

c)

BC cắt AM tại K.

Ta có:

$\widehat{KAC}=\widehat{MCA}$ ($ΔAMC cân$)

Mà $\widehat{KAC}+\widehat{AKC}=90^o$ (ΔAKC vuông tại C)

$⇒\widehat{MCA}+\widehat{AKC}=90^o$

Mà $\widehat{MCA}+\widehat{MCK}=90^o$

$⇒\widehat{AKC}=\widehat{MCK}$

$⇒ΔMKC$ cân tại M

$⇒MC=MK$

Mà $MC=MA$(tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

$⇒MK=MA$

Ta có: HN // MA (cùng vuông góc AB)

$⇒\dfrac{HN}{MA}=\dfrac{BN}{BM}$ (hệ quả thales) (*)

Ta có: CN // MK ( C thuộc tia HN, K thuộc tia AM)

$⇒\dfrac{CN}{MK}=\dfrac{BN}{BM}$ (hệ quả thales) (**)

Từ (*) và (**) và $MA=MK$

$⇒CN=HN$

Trả lời