Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và K là một điểm chính giữa của cung AB. Trên cung KB lấy điểm M (M khác K,B). Trên tia AM lấy điểm N sao cho AN=BM. kẻ dây BP//KM. Gọi Q là giao điểm của các đường thẳng AP và BM, E là giao điểm của PB và AM.
a) chứng minh 4 điểm P,Q,M,E cùng thuộc 1 đường tròn
b) chứng minh tam giác AKN = tam giác BKM
c) chứng minh AM.BE=AN.AQ
d) gọi R,S lần lượt là giao điểm thứ 2 của QA,QB với đường tròn ngoại tiếp tam giác OMP. Cmr khi M di động trên cung KB thì trung điểm I của RS luôn nằm trên 1 đường thẳng cố định.
tứ giác PQME nội tiếp đường tròn đường kính QE.
2. Có – ∠KAN=∠KBM;AN=MB;AK=BK⇒ΔAKN=ΔBKM(c.g.c)
3. ∠MBP=180o−∠KMB=45o lại có PQ⊥PB⇒ΔPQB vuông cân.hơn nữaanglePQB=∠PBA=45o⇒∠KBM=∠PBA
⇒PKMAlà hình thang cân.lại có MQ⊥AM⇒ΔQMA vuông cân. ⇒ΔMQE∼ΔMQA(g.g)⇒MBMA=EBQA⇒AQ.BM=BE.AM.
mà BE=AN ⇒AN.AQ=BE.AM.4. Gọi G và H là hai điểm trên đường vuông góc với KO tại K sao cho K là trung điểm của GH. HG=R có MA//PB mà PB⊥QA nên MK//QA
⇒R,K,M thẳng hàng. tương tự, P,K,S thẳng hàng⇒RS=12AB=R
⇒RSHG là hình bình hành. GI//KS;HI//GK⇒∠GIM=∠GKS=180o−∠AQB=135o.Góc GIH luôn nhìn GH một góc cố định mà HG cố định nên I chạy trên cung chứa góc 135o dựng trên GH.