Cho(O;5cm) đường kính AB. Gọi N là trung điểm của OM. Kẻ bán kính OM vuông góc với AB ,kẻ dây cung AE đi qua N cắt tiép tuyến tại B của(O) ở P. AM cắt BE và BP lần lượt tại F,Q . Trên tia EA lấy điểm K sao cho FKsong song MO
a Tính góc MAN và độ dài dây cung EB ( góc làm tròn đến 0,1 độ ; đoạn thẳng làm tròn đến 0,1cm)
b Chứng minh : FM.FA=FE.FB và góc MEA= góc AQP
c. Gọi J là trung điểm của BN, I là giao của BN với (O) . Chứng minh đường thẳng BK đi qua điểm M và OM bình phương= BJ.BI
Đáp án:
a) có CNDˆ=90oCND^=90o (góc nt chắn nửa đường tròn)
hay MNDˆ=90oMND^=90o
tứ giác OMND có MNDˆ+MODˆ=90o+90o=180oMND^+MOD^=90o+90o=180o
=> tứ giác OMND nội tiếp đường tròn
b)Có OM=R/3=OB/3 => BM=2/3 OB
tam giác CBD có BO là trung tuyến và BM=2/3 BO
=> M là trọng tâm của tam giác CBD
=> CM là trung tuyến của tam giác CBD
hay CK là trung tuyến
=> K là trung điểm của BD
ΔKCBΔKCB vàΔKDNΔKDN có:
CKBˆ=DKNˆCKB^=DKN^(2 góc đối đỉnh)
KCBˆ=KDNˆKCB^=KDN^(cùng chắn cung BN)
⇒ΔKCB∼ΔKDN(g.g)⇒ΔKCB∼ΔKDN(g.g)
⇒KCKD=KBKN⇒KCKD=KBKN
=> KC.KN=KB.KD
tam giác OBD vuông tại O
⇒BD=OB2+OD2−−−−−−−−−−√=R2+R2−−−−−−−√=2R2−−−√=R2–√⇒BD=OB2+OD2=R2+R2=2R2=R2
=> KB=KD=BD2=R2–√2KB=KD=BD2=R22
=> KC.KN=R2–√2.R2–√2=R22(đpcm)R22.R22=R22(đpcm)
c) tam giác COM vuông tại O
⇒CM=CO2+OM2−−−−−−−−−−√=R2+(R3)2−−−−−−−−−−√=R10−−√3⇒CM=CO2+OM2=R2+(R3)2=R103
ΔCOMΔCOM và ΔCNDΔCND có:
OCMˆchungOCM^chung
COMˆ=CNDˆ=90oCOM^=CND^=90o
⇒ΔCOM∼ΔCND(g.g)⇒ΔCOM∼ΔCND(g.g)
⇒OMDN=CMCD⇒OMDN=CMCD
⇒DN=OM.CDCM=R3.2RR10−−√3=R10−−√5
Giải thích các bước giải:
a) có CNDˆ=90oCND^=90o (góc nt chắn nửa đường tròn)
hay MNDˆ=90oMND^=90o
tứ giác OMND có MNDˆ+MODˆ=90o+90o=180oMND^+MOD^=90o+90o=180o
=> tứ giác OMND nội tiếp đường tròn
b)Có OM=R/3=OB/3 => BM=2/3 OB
tam giác CBD có BO là trung tuyến và BM=2/3 BO
=> M là trọng tâm của tam giác CBD
=> CM là trung tuyến của tam giác CBD
hay CK là trung tuyến
=> K là trung điểm của BD
ΔKCBΔKCB vàΔKDNΔKDN có:
CKBˆ=DKNˆCKB^=DKN^(2 góc đối đỉnh)
KCBˆ=KDNˆKCB^=KDN^(cùng chắn cung BN)
⇒ΔKCB∼ΔKDN(g.g)⇒ΔKCB∼ΔKDN(g.g)
⇒KCKD=KBKN⇒KCKD=KBKN
=> KC.KN=KB.KD
tam giác OBD vuông tại O
⇒BD=OB2+OD2−−−−−−−−−−√=R2+R2−−−−−−−√=2R2−−−√=R2–√⇒BD=OB2+OD2=R2+R2=2R2=R2
=> KB=KD=BD2=R2–√2KB=KD=BD2=R22
=> KC.KN=R2–√2.R2–√2=R22(đpcm)R22.R22=R22(đpcm)
c) tam giác COM vuông tại O
⇒CM=CO2+OM2−−−−−−−−−−√=R2+(R3)2−−−−−−−−−−√=R10−−√3⇒CM=CO2+OM2=R2+(R3)2=R103
ΔCOMΔCOM và ΔCNDΔCND có:
OCMˆchungOCM^chung
COMˆ=CNDˆ=90oCOM^=CND^=90o
⇒ΔCOM∼ΔCND(g.g)⇒ΔCOM∼ΔCND(g.g)
⇒OMDN=CMCD⇒OMDN=CMCD
⇒DN=OM.CDCM=R3.2RR10−−√3=R10−−√5