Cho P=(a+5)/(a+2) (a là số nguyên)
a) Tìm a là số nguyên để P nhận giá trị nguyên
b) Tìm a là số nguyên để P nhận Pmax,Pmin
c) Tìm a là số nguyên để P là phân số tối giản
Cho P=(a+5)/(a+2) (a là số nguyên) a) Tìm a là số nguyên để P nhận giá trị nguyên b) Tìm a là số nguyên để P nhận Pmax,Pmin c) Tìm a là số nguyên để P
By Katherine
`a) P = (a + 5)/(a + 2)`
`P = (a + 2 + 3)/(a + 2)`
`P = 1 + 3/(a + 2)`
Để `P` nguyên
`<=> 3/(a + 2)` nguyên
`<=> 3 vdots a + 2`
`<=> a + 2 ∈ Ư (3)`
Mà: `Ư (3) = {±1; ±3}`
`=> a + 2 ∈ {±1; ±3}`
`=> a ∈ {±1; -3; -5}`
`b)` Để `P_{max}`
`<=> 3/(a + 2) max`
`<=> a + 2` là số nguyên dương nhỏ nhất với `a ∈ ZZ`
`<=> a + 2 = 1`
`<=> a = -1`
Vậy `P_{max} = (-1 + 5)/(-1 + 2) = 4` khi `a = -1`
Để `P_{min}`
`<=> 3/(a + 2) min`
`<=> a + 2` là số nguyên âm lớn nhất với `a ∈ ZZ`
`<=> a + 2 = -1`
`<=> a = -3`
Vậy `P_{min} = (-3 + 5)/(-3 + 2) = 2` khi `a = -3`
`c)` Để `P` tối giản
`<=> 3/(a + 2)` tối giản
Mà: `Ư (3) = {±1; ±3}`
`=>` `(a + 2; 3) = 1`
`<=> a + 2` $\not\vdots$ `3`
`=> a + 2 ne 3k, k ∈ ZZ`
`=> a ne 3k – 2`, `k ∈ ZZ`
Vậy `P` tối giản khi `a ne 3k – 2, k ∈ ZZ`
Đáp án:
`a, a ∈ { -1 ; -3 ; 1 ; -5 }`
`b,` Max `P = 4 ⇔ a = -1`
Min `P = 2 ⇔ a = -3`
`c, a` $\neq$ `3k – 2` `(k ∈ Z)`
Giải thích các bước giải:
Ta có: `P = (a + 5)/(a + 2) = (a + 2 + 3)/(a + 2) = 1 + 3/(a + 2)`
`a,` Để `P ∈ Z` thì: `3/(a + 2) ∈ Z`
`⇒` `3` $\vdots$ `a + 2` `(a ∈ Z)`
`⇒ a + 2 ∈ Ư (3) = { ±1 ; ±3 }`
`⇒ a ∈ { -1 ; -3 ; 1 ; -5 }`
Vậy `a ∈ { -1 ; -3 ; 1 ; -5 }`
`b,` +) Để `P` đạt GTLN thì: `3/(a + 2)` đạt GTLN
`⇒ a + 2` là số nguyên dương nhỏ nhất ứng với `a ∈ Z`
`⇒ a + 2 = 1`
`⇒ a = -1`
Khi đó, `P = (-1 + 5)/(-1 + 2) = 4`
Vậy Max`P = 4 ⇔ a = -1`
+) Để `P` đạt GTNN thì: `3/(a + 2)` đạt GTNN
`⇒ a + 2` là số nguyên âm lớn nhất ứng với `a ∈ Z`
`⇒ a + 2 = -1`
`⇒ a = -3`
Khi đó, `P = (-3 + 5)/(-3 + 2) = 2`
Vậy Min`P = 2 ⇔ a = -3`
`c,` Để `P` là phân số tối giản thì: `3/(a + 2)` là phân số tối giản
Vì `Ư (3) = { ±1 ; ±3 }`
`⇒` để `3/(a + 2)` tối giản thì `(a + 2 ; 3) = 1`
`⇒ a + 2` $\not\vdots$ `3`
`⇒ a + 2` $\neq$ `3k` `(k ∈ Z)`
`⇒ a` $\neq$ `3k – 2` `(k ∈ Z)`
Vậy `P` tối giản `⇔ a` $\neq$ `3k – 2` `(k ∈ Z)`