Cho P= $\frac{x²- √x}{x+ √x+1}$ – $\frac{2x+√x}{√x}$ + $\frac{2(x-1)}{√x-1}$ ( ĐKXĐ: x>0 ; x$\neq$ 1) Biểu thức rút gọn là x-√x+1 ( kiểm tra lại

Đáp án:

a. \(Min = \dfrac{3}{4}\)

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l}
a.P = \dfrac{{\sqrt x \left( {x\sqrt x  – 1} \right)}}{{x + \sqrt x  + 1}} – \dfrac{{\sqrt x \left( {2\sqrt x  + 1} \right)}}{{\sqrt x }} + \dfrac{{2\left( {\sqrt x  – 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\sqrt x  – 1}}\\
 = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  – 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}{{x + \sqrt x  + 1}} – \left( {2\sqrt x  + 1} \right) + 2\left( {\sqrt x  + 1} \right)\\
 = \sqrt x \left( {\sqrt x  – 1} \right) – 2\sqrt x  – 1 + 2\sqrt x  + 2\\
 = x – \sqrt x  – 2\sqrt x  – 1 + 2\sqrt x  + 2\\
 = x – \sqrt x  + 1\\
P = x – 2.\sqrt x .\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}\\
 = {\left( {\sqrt x  – \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4}\\
Do:{\left( {\sqrt x  – \dfrac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\forall x > 0\\
 \to {\left( {\sqrt x  – \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} \ge \dfrac{3}{4}\\
 \to Min = \dfrac{3}{4}\\
 \Leftrightarrow \sqrt x  – \dfrac{1}{2} = 0\\
 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{4}\\
b.P \ge 3\\
 \to x – \sqrt x  + 1 \ge 3\\
 \to x – \sqrt x  – 2 \ge 0\\
 \to \left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  – 2} \right) \ge 0\\
Do:\sqrt x  + 1 > 0\forall x > 0\\
 \to \sqrt x  – 2 \ge 0\\
 \to x \ge 4\\
c.P = 1\\
 \to x – \sqrt x  + 1 = 1\\
 \to x – \sqrt x  = 0\\
 \to \sqrt x \left( {\sqrt x  – 1} \right) = 0\\
 \to \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = 1
\end{array} \right.\left( {KTM} \right)\\
 \to x \in \emptyset 
\end{array}\)