Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3.
a) Chứng tỏ rằng p có dạng 6k+1 hoặc 6k+5
b)Biết 8p+1 cũng là một số nguyên tố. Chứng minh rằng 4p+1 là hợp số.
Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3.
a) Chứng tỏ rằng p có dạng 6k+1 hoặc 6k+5
b)Biết 8p+1 cũng là một số nguyên tố. Chứng minh rằng 4p+1 là hợp số.
Giải:
a)Mọi số tự nhiên lớn hơn 3 khi chia cho 6 chỉ có thể xảy ra một trong 6 trường hợp : dư 0, dư 1, dư 2, dư 3, dư 4, dư 5.
– Nếu p chia cho 6 dư 0 thì p=6k, p là hợp số.
-Nếu p chia cho 6 dư 1 thì p=6k+1
-Nếu p chia cho 6 dư 2 thì p=6k+2, p là hợp số.
-Nếu p chia cho 6 dư 3 thì p=6k+3, p là hợp số.
-Nếu p chia cho 6 dư 4 thì p=6k+4, p là hợp số.
-Nếu p chia cho 6 dư 5 thì p=6k+5.
Vậy mọi số nguyên tố lớn hơn 3 chia cho 6 thì chỉ có thể dư 1 hoặc dư 5 tức là :
p=6k+1 hoặc p=6k+5
b) Nếu p có dạng 6k+1 thì 8p+1=8(6k+1)+1=48k+9 chia hết cho 3; số này là hợp số.
Vậy p không có dạng 6k+1 mà p có dạng 6k+5, khi đó 4p+1=4(6k+5)+1=24k+21 chia hết cho 3. Rõ ràng 4p+1 là hợp số.