cho p là số nguyên tố lớn hơn 3.Chứng minh p ² -1 chia hết cho 8
0 bình luận về “cho p là số nguyên tố lớn hơn 3.Chứng minh p ² -1 chia hết cho 8”
p là số nguyên tố > 3 nên p không chia hết cho 3, do đó p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2. – Nếu p = 3k + 1 thì p – 1 = 3k chia hết cho 3 -> (p – 1)(p + 1) chia hết cho 3 (1) – Nếu p = 3k – 1 thì p + 1 = 3k chia hết cho 3 -> (p – 1)(p + 1) chia hết cho 3 (2) Từ (1) và (2) -> (p-1)(p+1) luôn chia hết cho 3 (3) Mặt khác, p là số nguyên tố > 3 nên p là số lẻ -> p = 2h + 1 -> (p – 1)(p + 1) = (2h + 1 – 1)(2h + 1 + 1) = 2h(2h + 2) = 4h(h +1) h(h + 1) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp -> h(h + 1) chia hết cho 2 -> 4h(h + 1) chia hết cho 8 -> (p – 1)(p + 1) chia hết cho 8
p là số nguyên tố > 3 nên p không chia hết cho 3, do đó p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2.
– Nếu p = 3k + 1 thì p – 1 = 3k chia hết cho 3 -> (p – 1)(p + 1) chia hết cho 3 (1)
– Nếu p = 3k – 1 thì p + 1 = 3k chia hết cho 3 -> (p – 1)(p + 1) chia hết cho 3 (2)
Từ (1) và (2) -> (p-1)(p+1) luôn chia hết cho 3 (3)
Mặt khác, p là số nguyên tố > 3 nên p là số lẻ -> p = 2h + 1 -> (p – 1)(p + 1) = (2h + 1 – 1)(2h + 1 + 1) = 2h(2h + 2) = 4h(h +1)
h(h + 1) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp -> h(h + 1) chia hết cho 2 -> 4h(h + 1) chia hết cho 8 -> (p – 1)(p + 1) chia hết cho 8