Cho p là số nguyên tố và 1 trong 2 số 8p -1 và 8p+1 là số nguyên tố . Hỏi số còn lại là nguyên tố hay hợp số?
Cho p là số nguyên tố và 1 trong 2 số 8p -1 và 8p+1 là số nguyên tố . Hỏi số còn lại là nguyên tố hay hợp số?
By Madelyn
By Madelyn
Cho p là số nguyên tố và 1 trong 2 số 8p -1 và 8p+1 là số nguyên tố . Hỏi số còn lại là nguyên tố hay hợp số?
Giải thích các bước giải:
Với \(p\) nguyên tố và một trong hai số \(8p+1, 8p-1\) là số nguyên tố thì số thứ ba là một hợp số. Thật vậy:
+) Với \(p\) và \(8p+1\) là số nguyên tố thì ta có:
\(\bullet\) Xét \(p=2\). Khi đó ta có:
\(8p+1=8.2+1=17 \) là số nguyên tố, \(8p-1=8.2-1=15\) là hợp số.
Vậy bài toán đúng với \(p=2\)
\(\bullet\) Xét \(p= 3\) thì \(8p+1 = 8.3+1 = 25\) là hợp số (trái với giả thiết)
\(\bullet\) Xét \(p\neq 3\). Vì \(p\) là số nguyên tố nên \(p\) không chia hết cho \(3\).
Giả sử \(p\) chia \(3\) dư \(1 \Rightarrow p=3k+1 (k\in N)\).
Khi đó: \(8p+1=8.(3k+1)+1=24k+9=3.(8k+3) \vdots 3\)
\(\Rightarrow\) \(8p+1\) là hợp số (trái với giả thiết).
Do đó \(p\) chia 3 dư 2, hay \(p = 3k + 2 \ (k \in N)\)
Khi đó: \(8p-1=8.(3k+2)-1=24k+15=3.(8k+5) \vdots 3 \Rightarrow\) \(8p-1\) là hợp số.
Vậy, nếu \(8p+1\) và \(p\) đều là số nguyên tố thì \(8p-1\) là hợp số.
+) Với \(p\) và \(8p-1\) là số nguyên tố thì ta có:
\(\bullet\) Xét \(p=2\). Khi đó ta có:
\(8p-1=8.2-1=15\) là hợp số (trái với giả thiết)
\(\bullet\) Xét \(p=3\). Khi đó ta có:
\(8p-1=8.3-1=23\) là số nguyên tố, \(8p+1=8.3+1=25 \vdots 5\) là hợp số.
Vậy bài toán đúng với \(p=3\)
\(\bullet\) Xét \(p\neq 3\). Vì \(p\) là số nguyên tố nên \(p\) không chia hết cho \(3\).
Giả sử \(p\) chia \(3\) dư \(2 \Rightarrow p=3k+2 (k\in N)\).
Khi đó: \(8p-1=8.(3k+2)-1=24k+16-1=24k+15=3.(8k+5) \vdots 3\)
\(\Rightarrow\) \(8p-1\) là hợp số (trái với giả thiết).
Do đó \(p\) chia 3 dư 1, hay \(p = 3k + 1 \ (k \in N)\)
Khi đó: \(8p+1=8.(3k+1)+1=24k+9=3.(8k+3) \vdots 3 \Rightarrow\) \(8p+1\) là hợp số.
Vậy, nếu \(8p-1\) và \(p\) đều là số nguyên tố thì \(8p+1\) là hợp số
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Nếu p=2→8p+1=17p=2→8p+1=17 là số nguyên tố, 8p−1=158p−1=15 là hợp số
Nếu p=3→8p+1=25p=3→8p+1=25 là hợp số, 8p−1=238p−1=23 là số nguyên tố
Nếu p>3p>3
Trường hợp 1:8p+11:8p+1 là số nguyên tố
→8p+1>3→8p+1⋮̸3→8p+1>3→8p+1⋮̸3
→9p−(p−1)⋮̸3→9p−(p−1)⋮̸3
→p−1⋮̸3→p−1⋮̸3
→p=3k+2→p=3k+2 vì pp là số nguyên tố
→8p−1=8(3k+2)−1=24k+15⋮3→8p−1→8p−1=8(3k+2)−1=24k+15⋮3→8p−1 là hợp số
Trường hợp 2:8p−12:8p−1 là số nguyên tố
→8p−1>3→8p−1⋮̸3→8p−1>3→8p−1⋮̸3
→9p−(p+1)⋮̸3→9p−(p+1)⋮̸3
→p+1⋮̸3→p+1⋮̸3
→p=3k+1→p=3k+1 vi pp là số nguyên tố lớn hơn 33
→8p+1=8(3k+1)+1=24k+9⋮3→8p+1=8(3k+1)+1=24k+9⋮3
→8p+1→8p+1 là hợp số
→→Nếu pp là số nguyên tố và một trong hai số 8p+1,8p−18p+1,8p−1 là số nguyên tố thì số còn lại là hợp số