Cho p và 5p+1 là các số nguyên tố (p>3) CMR: 10p+1 là hợp số 12/08/2021 Bởi aihong Cho p và 5p+1 là các số nguyên tố (p>3) CMR: 10p+1 là hợp số
Vì `p` là số nguyên tố và `p > 3` `⇒ p` có dạng `3k + 1` hoặc `3k + 2` `(k ∈ N)` +) Với `p = 3k + 1` `⇒ 5p + 1 = 5(3k + 1) + 1 = 15k + 6 = 3(5k + 2)` $\vdots$ `3` Dễ thấy, `5p + 1 > 3` `⇒ 5p + 1` là hợp số (loại) Như vậy, `p = 3k + 2` `⇒ 10p + 1 = 10(3k + 2) + 1 = 30k + 21 = 3(10k + 7)` $\vdots$ `3` Dễ thấy, `10p + 1 > 3` `⇒ 10p + 1` là hợp số `(đpcm)` Vậy `10p + 1` là hợp số khi `p` là số nguyên tố `> 3` và có dạng `3k + 2` `(k ∈ N)` Bình luận
Vì p là số > 3 nên xét 2 Th: Th1: p= 3.k+ 1, k ∈ N* 5.p+ 1= 5. ( 3.k+ 1] + 1 = 15.k + 5+1 = 15.k + 6 = 3. (5.k + 2] chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên là hợp số. ⇒ Th loại Th2: p= 3.k+ 2 , k ∈ N* 10.p+ 1= 10. ( 3.k+ 2] + 1= 30.k + 20+ 1= 30.k+ 21 = 3. ( 10.k+ 7] chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên là hợp số ( thoa mãn] Vậy với p và 5p+1 là các số nguyên tố thì 10.p+ 1 là hợp số ~ Học tốt !~ Bình luận
Vì `p` là số nguyên tố và `p > 3`
`⇒ p` có dạng `3k + 1` hoặc `3k + 2` `(k ∈ N)`
+) Với `p = 3k + 1`
`⇒ 5p + 1 = 5(3k + 1) + 1 = 15k + 6 = 3(5k + 2)` $\vdots$ `3`
Dễ thấy, `5p + 1 > 3`
`⇒ 5p + 1` là hợp số (loại)
Như vậy, `p = 3k + 2`
`⇒ 10p + 1 = 10(3k + 2) + 1 = 30k + 21 = 3(10k + 7)` $\vdots$ `3`
Dễ thấy, `10p + 1 > 3`
`⇒ 10p + 1` là hợp số `(đpcm)`
Vậy `10p + 1` là hợp số khi `p` là số nguyên tố `> 3` và có dạng `3k + 2` `(k ∈ N)`
Vì p là số > 3 nên xét 2 Th:
Th1: p= 3.k+ 1, k ∈ N*
5.p+ 1= 5. ( 3.k+ 1] + 1 = 15.k + 5+1 = 15.k + 6 = 3. (5.k + 2] chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên là hợp số.
⇒ Th loại
Th2: p= 3.k+ 2 , k ∈ N*
10.p+ 1= 10. ( 3.k+ 2] + 1= 30.k + 20+ 1= 30.k+ 21 = 3. ( 10.k+ 7] chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên là hợp số ( thoa mãn]
Vậy với p và 5p+1 là các số nguyên tố thì 10.p+ 1 là hợp số
~ Học tốt !~