Cho (P): y= $x^{2}$ +2x-3 và d: y=m(x-4)-2 Tìm m để d cắt (P) tại 2 điểm A ($x_{1}$;$y_{1}$) và B($x_{2}$;$y_{2}$) sao cho biểu thức P=2($x_{1}^2$+$x_

Đáp án: $m=-3$

Giải thích các bước giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ là: 

$x^2+2x-3=m(x-4)-2$

$\to x^2+2x-1=mx-4m$

$\to x^2+x(2-m)+(4m-1)=0$

Để $(d)\cap (P)$ tại $2$ điểm phân biệt

$\to \Delta>0$

$\to (2-m)^2-4(4m-1)>0$

$\to m^2-20m+8>0$

$\to \left(m-10\right)^2>92$

$\to m<-2\sqrt{23}+10\quad \mathrm{hoặc}\quad \:m>2\sqrt{23}+10$

Khi đó phương trình có $2$ nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn:

$\begin{cases}x_1+x_2=m-2\\ x_1x_2=4m-1\end{cases}$

Ta có:

$P=2(x_1^2+x_2^2)+9x_1x_2+2014$

$\to P=2(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2)+5x_1x_2+2014$

$\to P=2(x_1+x_2)^2+5x_1x_2+2014$

$\to P=2(m-2)^2+5(4m-1)+2014$

$\to P=2m^2+12m+2017$

$\to P=2\left(m+3\right)^2+1999\ge 1999$

$\to$ GTNN P$=1999$

Dấu = xảy ra khi $m+3=0\to m=-3$