cho (P):y= $\frac{1}{4}$ $x^{2}$ và (d):y= $\frac{1}{2}$x+ $m^{2}$ cắt nhau tại 2 điểm phân biệt M và N. Tìm m để: $y_{M}$ – $y_{N}$ + $x_{M}^{2}$+ $x_{N}^{2}$ =-2
cho (P):y= $\frac{1}{4}$ $x^{2}$ và (d):y= $\frac{1}{2}$x+ $m^{2}$ cắt nhau tại 2 điểm phân biệt M và N. Tìm m để: $y_{M}$ – $y_{N}$ + $x_{M}^{2}$+
By Aaliyah
Đáp án:
\(m \in \emptyset \)
Giải thích các bước giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là
\(\begin{array}{l}
\dfrac{1}{4}{x^2} = \dfrac{1}{2}x + {m^2}\\
\to {x^2} – 2x – 4{m^2} = 0\left( 1 \right)
\end{array}\)
Để (d) và (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt
⇒ Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt
\(\begin{array}{l}
\to 1 + 4{m^2} > 0\left( {ld} \right)\forall m\\
\to \left[ \begin{array}{l}
x = 1 + \sqrt {1 + 4{m^2}} \\
x = 1 – \sqrt {1 + 4{m^2}}
\end{array} \right.\\
Gọi:M\left( {{x_1};{y_1}} \right);N\left( {{x_2};{y_2}} \right)\\
Có:{y_1} – {y_2} + {x_1}^2 + {x_2}^2 = – 2\\
\to \dfrac{1}{4}{x_1}^2 – \dfrac{1}{4}{x_2}^2 + {x_1}^2 + {x_2}^2 = – 2\\
\to \dfrac{5}{4}{x_1}^2 + \dfrac{3}{4}{x_2}^2 = – 2\\
\to 5{x_1}^2 + 3{x_2}^2 = – 8\\
\to 2{x_1}^2 + 3\left( {{x_1}^2 + {x_2}^2} \right) = – 8\\
\to 2{x_1}^2 + 3\left( {{x_1}^2 + {x_2}^2 + 2{x_1}{x_2}} \right) – 6{x_1}{x_2} = – 8\\
\to 2{x_1}^2 + 3{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 6{x_1}{x_2} = – 8\\
\to \left[ \begin{array}{l}
2\left( {1 + \sqrt {1 + 4{m^2}} } \right) + 3.4 – 6\left( { – 4{m^2}} \right) = – 8\\
2\left( {1 – \sqrt {1 + 4{m^2}} } \right) + 3.4 – 6\left( { – 4{m^2}} \right) = – 8
\end{array} \right.\\
\to \left[ \begin{array}{l}
2 + 2\sqrt {1 + 4{m^2}} + 12 + 24{m^2} = – 8\\
2 – 2\sqrt {1 + 4{m^2}} + 12 + 24{m^2} = – 8
\end{array} \right.\\
\to \left[ \begin{array}{l}
2\sqrt {1 + 4{m^2}} = – 24{m^2} – 22\left( {KTM} \right)\\
2\sqrt {1 + 4{m^2}} = 24{m^2} + 22
\end{array} \right.\\
\to \sqrt {1 + 4{m^2}} = 12{m^2} + 11\\
\to 1 + 4{m^2} = 144{m^4} + 264{m^2} + 121\\
\to 144{m^4} + 260{m^2} + 120 = 0\left( {vô nghiệm} \right)\\
\to m \in \emptyset
\end{array}\)