cho parabol P:y=x^2-4x+3 và đường thẳng d:y=mx+3. Tìm tất cả giá trị thực của m để d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A,B sao cho diện tích tam giác OAB b

Đáp án: $m=-7$ hoặc $m=1$

Giải thích các bước giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của $(d),(P)$ là:

$x^2-4x+3=mx+3$

$\to x^2-x(m+4)=0$

$\to x(x-m-4)=0$

$\to x\in\{0,m+4\}$

Giả sử $x_a=0\to y_a=m\cdot 0+3=3\to A(0,3)$

           $x_b=m+4\to y_b=m\cdot (m+4)+3=m^2+4m+3\to B(m+4,m^2+4m+3)$

$\to AB=\sqrt{(m+4-0)^2+(m^2+4m+3-3)^2}$

$\to AB=\sqrt{(m+4)^2+(m^2+4m)^2}$

$\to AB=\sqrt{(m+4)^2+m^2(m+4)^2}$

$\to AB=\sqrt{(m+4)^2(1+m^2)}$

$\to AB=|m+4|\sqrt{1+m^2}$

Ta có khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $(d):y=mx+3\to mx-y+3=0$ là:

$d(O,d)=\dfrac{|m\cdot 0-0+3|}{\sqrt{m^2+(-1)^2}}$

$\to d(O,d)=\dfrac{3}{\sqrt{m^2+1}}$

$\to S_{OAB}=\dfrac12\cdot d(O,d)\cdot AB$

$\to \dfrac92=\dfrac12\cdot \dfrac{3}{\sqrt{m^2+1}}\cdot |m+4|\sqrt{1+m^2}$

$\to 3=  |m+4|$

$\to m+4=3\to m=1$ hoặc $m+4=-3\to m=-7$