cho parabol p: y=x^2 và đường thẳng d có hệ số góc m đi qua điểm M(0;1) 1) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m đường thẳng d luôn cắt p tại hai đi

Đáp án:

1) Đường thẳng d có hệ số góc m và đi qua M nên:

$\begin{array}{l}
d:y = m.x + b\\
M\left( {0;1} \right) \Leftrightarrow 1 = m.0 + b\\
 \Leftrightarrow b = 1\\
 \Leftrightarrow d:y = mx + 1\\
Xet:{x^2} = mx + 1\\
 \Leftrightarrow {x^2} – mx – 1 = 0\\
\Delta  = {m^2} + 4 > 0
\end{array}$

=> d luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt

$\begin{array}{l}
TheoViet:\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = m\\
{x_1}{x_2} =  – 1
\end{array} \right.\\
\left| {{x_1} – {x_2}} \right|\\
 = \sqrt {{{\left( {{x_1} – {x_2}} \right)}^2}} \\
 = \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} – 4{x_1}{x_2}} \\
 = \sqrt {{m^2} – 4.\left( { – 1} \right)} \\
 = \sqrt {{m^2} + 4}  \ge \sqrt 4  = 2\\
 \Leftrightarrow \left| {{x_1} – {x_2}} \right| \ge 2\\
Vậy\,\left| {{x_1} – {x_2}} \right| \ge 2\\
2)\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = m\\
{x_1}{x_2} =  – 1
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ {{y_1} + {y_2} = x_1^2 + x_2^2} \right.\\
 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 2{x_1}{x_2}\\
 = {m^2} – 2.\left( { – 1} \right)\\
 = {m^2} + 2\\
A\left( {{x_1};x_1^2} \right);B\left( {{x_2};x_2^2} \right)\\
 \Leftrightarrow A{B^2} = {\left( {{x_1} – {x_2}} \right)^2} + {\left( {{y_1} – {y_2}} \right)^2}\\
 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 4{x_1}{x_2} + {\left( {{x_1} – {x_2}} \right)^2}{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2}\\
 = {m^2} + 4 + {m^2}.{\left( {{x_1} – {x_2}} \right)^2}\\
 = {m^2} + 4 + {m^2}.\left( {{m^2} + 4} \right)\\
 = {m^4} + 5{m^2} + 4\\
O{A^2} + O{B^2}\\
 = x_1^2 + {\left( {x_1^2} \right)^2} + x_2^2 + {\left( {x_2^2} \right)^2}\\
 = \left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + x_1^4 + x_2^4\\
 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 2{x_1}{x_2} + {\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)^2} – 2x_1^2x_2^2\\
 = {m^2} + 2 + {\left( {{m^2} + 2} \right)^2} – 2.{\left( { – 1} \right)^2}\\
 = {m^2} + {m^4} + 4{m^2} + 4\\
 = {m^2} + 5{m^2} + 4\\
 \Leftrightarrow O{A^2} + O{B^2} = A{B^2}
\end{array}$

Vậy tam giác OAB vuông tại O