cho parabol (P): y=x² . tìm các giá trị của m để đường thẳng (d): y=2x+m-1 cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A(x1,y1), B(x2,y2) thỏa mãn y1.y2-x1.x2=12
cho parabol (P): y=x² . tìm các giá trị của m để đường thẳng (d): y=2x+m-1 cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A(x1,y1), B(x2,y2) thỏa mãn y1.y2-x1.x2=12
Đáp án:
$m = 4$
Giải thích các bước giải:
Phương trình hành độ giao điểm giữa $(d)$ và $(P):$
$\quad x^2 = 2x + m – 1$
$\Leftrightarrow x^2 – 2x – m + 1= 0\quad (*)$
$(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt
$\Leftrightarrow \Delta_{(*)}’ > 0$
$\Leftrightarrow 1- (-m+1) >0$
$\Leftrightarrow m > 0$
Áp dụng định lý Viète ta được:
$\begin{cases}x_1 + x_2 = 2\\x_1x_2= -m+1\end{cases}$
Ta có:
$\quad y_1y_2- x_1x_2= 12$
$\Leftrightarrow x_1^2x_2^2 – x_1x_2 – 12= 0$
$\Leftrightarrow (x_1x_2 + 3)(x_1x_2- 4)= 0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x_1x_2 = -3\\x_1x_2 = 4\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}- m +1 = -3\\- m +1 = 4\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m = 4\quad (nhận\\m = -3\quad (loại)\end{array}\right.$
Vậy $m = 4$
Hoành độ của 2 giao điểm là nghiệm của phương trình
`x^2=2x+m-1`
`=>x^2-2x-m+1=0`
`\Delta’=(-1)^2-(-m+1)`
`=>\Delta’=m`
Do `(P)` và `(d)` cắt nhau tại 2 điểm phân biệt nên `\Delta’>0` hay `m>0`
Theo hệ thức vi-ét ta có
$\begin{cases}x_1+x_2=2\\x_1.x_2=1-m\\\end{cases}$
Ta có
`y_1.y_2-x_1.x_2=12 (1)`
Ta có `y=x^2`
`=>y_1=(x_1)^2`
`y_2=(x_2)^2`
`(1)<=>(x_1)^2.(x_2)^2-x_1.x_2-12=0(**)`
Đặt `x_1.x_2=t`
Phương trình `(**)` trở thành
`t^2-t-12=0`
`=>(t-4)(t+3)=0`
`=>`\(\left[ \begin{array}{l}t=4\\t=-3\end{array} \right.\)
Thay `t=x_1.x_2` vào ta được
\(\left[ \begin{array}{l}x_1.x_2=4\\x_1.x_2=-3\end{array} \right.\)
`=>`\(\left[ \begin{array}{l}1-m=4\\1-m=-3\end{array} \right.\)
`=>`\(\left[ \begin{array}{l}m=1-4=-3(KTM)\\m=1+3=4(TM)\end{array} \right.\)
Vậy với `m=4` thì thõa mãn đề bài