Cho parabol (P) : y = x² và đường thẳng (d) y = 2x + m
Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_{1}$ $x_{2}$ thỏa mãn : $x_{1}$² + $x_{2}$² + $x_{1}$ + $x_{2}$ = 2014
Cho parabol (P) : y = x² và đường thẳng (d) y = 2x + m Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_{1}$ $x_{2}$ thỏa mãn : $x_{1}$² +
By Arianna
Đáp án:
$m=1004$
Giải thích các bước giải:
Xét pt hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:
$x² =2x + m$
$→ x² – 2x – m = 0$ $(*)$
ta có : $Δ’ = (-1)² – (-m) = 1 + m $
Để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt thì pt $(*)$ có nghiệm phân biệt
$→Δ’ > 0$
$→ m + 1> 0$
$→ m > – 1$
Theo hệ thức Vi – ét ta có : $\left \{ {{x1+x2 = 2} \atop {x1.x2=-m}} \right.$
Ta có :
$(x1)² + (x2)² + x1 + x2 = 2014$
$→ (x1 + x2)² – 2×1.x2 + (x1 + x2) = 2014$
$→ 2² – 2.(-m) + 2 = 2014$
$→ 4 + 2m + 2 = 2014$
$→2m + 6=2014$
$→ 2m = 2008$
$→ m = 1004 (tmđk : m > -1)$
Vậy $m = 1004$ là giá trị cần tìm
Đáp án:
$m = 1004$
Giải thích các bước giải:
Phương trình hoành độ giao điểm giữa $(d)$ và $(P):$
$\quad x^2 = 2x + m$
$\Leftrightarrow x^2 – 2x – m = 0\qquad (*)$
$(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt
$\Leftrightarrow (*)$ có hai nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow \Delta_{(*)}’ > 0$
$\Leftrightarrow 1 + m > 0$
$\Leftrightarrow m > -1$
Với $x_1,\ x_2$ là hai hoành độ giao điểm
Áp dụng định lý Viète ta được:
$\begin{cases}x_1 + x_2 = 2\\x_1x_2 = – m\end{cases}$
Ta có:
$\quad x_1^2 + x_2^2 + x_1 + x_2 = 2014$
$\Leftrightarrow 2x_1 + m + 2x_2 + m + x_1 + x_2 = 2014$
$\Leftrightarrow 3(x_1 + x_2) + 2m = 2014$
$\Leftrightarrow 3.2 + 2m = 2014$
$\Leftrightarrow 2m = 2008$
$\Leftrightarrow m = 1004$ (nhận)
Vậy $m = 1004$