Cho parabol (P) y=x² và đường thẳng (d) y=(2m+3)x+2m+4. Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ thỏa mãn $|x_{A}|+|x_{B}|=5$

Đáp án: `m=0;m=-4`

Giải thích các bước giải:

 Xét phương trình hoành độ giao điểm của `(P)` và `(d)` ta có:

`x^2=(2m+3).x+2m+4`

`<=>x^2-(2m+3)x-2m-4=0`

`Δ=(-(2m+3))^2-4.(-2m-4)`

`=4m^2+12m+9+8m+16`

`=4m^2+20m+25`

`=(2m+5)^2≥0∀m`

Để `(d)` luôn cắt `(P)` tại hai điểm phân biệt `∀m`

`<=>Δ>0⇔2m+5\ne0⇔m\ne(-5)/(2)`

Với `m\ne(-5)/(2)` pt có hai nghiệm phân biệt , Theo viet ta có:

$\left\{\begin{matrix}x_A+x_B=\dfrac{-b}{a}=2m+3\\x_A.x_B=\dfrac{c}{a}=-2m-4\end{matrix}\right.$

`+)|x_A|+|x_B|=5`

`<=>(|x_A|+|x_B|)^2=25`

`<=>x_A^2+x_B^2+2.|x_A.x_B|=25`

`<=>x_A^2+2.x_A.x_B+x_B^2-2x_A.x_B+2|x_A.x_B|=25`

`<=>(x_A+x_B)^2-2x_A.x_B+2|x_A.x_B|=25`

`<=>(2m+3)^2-2.(-2m-4)+2.|-2m-4|=25`

`<=>4m^2+12m+9+4m+8+2.|-2m-4|=25`

`<=>4m^2+16m-8+2|-2m-4|=0`

`+)-2m-4≥0=>m≤-2`

`<=>4m^2+16m-8+2.(-2m-4)=0`

`<=>4m^2+12m-16=0`

`<=>`\(\left[ \begin{array}{l}m=1(loại)\\m=-4(tm)\end{array} \right.\) 

`+)-2m-4<0=>m>2`

`<=>4m^2+16m-8+2.(2m+4)=0`

`<=>4m^2+20m=0`

`<=>`\(\left[ \begin{array}{l}m=-5(loại)\\m=0(tm)\end{array} \right.\) 

Vậy `m=0` hoặc `m=-4` là giá trị cần tìm.