Cho parabol (P) y=x² và đường thẳng (d) y=(2m+3)x+2m+4. Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ thỏa mãn $|x_{A}|+|x_{B}|=5$
Cho parabol (P) y=x² và đường thẳng (d) y=(2m+3)x+2m+4. Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ thỏa mãn $|x_{A}|+|x_{B}|=5$
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Xét hoành độ giao điểm của `(d)` và `(P)` có:
`x^2=(2m+3)x+2m+4`
`⇔ x^2-(2m+3)x-2m-4=0`
`Δ=[-(2m+3)]^2-4.1.(-2m-4)`
`Δ=4m^2+12m+9+8m+16`
`Δ=4m^2+20m+25`
`Δ=(2m+5)^2 ≥ 0 ∀m`
`⇒ m \ne – 5/2` thì PT luôn có 2 nghiệm pb `x_{1},x_{2}`
`⇒` (d) cắt (P) tại 2 điểm pb `x_{A},x_{B}`
Theo Vi-et, ta có:
\(\begin{cases} x_{A}+x_{B}=2m+3\\ x_{A}x_{B}=-2m-4\end{cases}\)
`|x_{A}|+|x_{B}|=5`
`⇔ (|x_{A}|+|x_{B}|)^2 = 25`
`⇔ x_{A}^{2}+x_{B}^2+2|x_{A}.x_{B}|=25`
`⇔ (x_A+x_B)^2-2x_{A} x_{B}+2|x_{A}.x_{B}|=25`
`⇔ (2m+3)^2-2(-2m-4)+2|-2m-4|=25`
`⇔ 4m^2+12m+9+4m+8+2|-2m-4|=25`
`⇔ 4m^2+16m-8=-2|-2m-4|`
`⇔ -2m^2-8m+4=|-2m-4|`
TH1: `m \le -2`
`-2m^2-8m+4=-2m-4`
`⇔ -2m^2-6m+8=0`
`⇔` \(\left[ \begin{array}{l}m=1\ (L)\\m=-4\ (TM)\end{array} \right.\)
TH2: `m> -2`
`2m^2+8m-4=-2m-4`
`⇔ 2m^2+10m=0`
`⇔` \(\left[ \begin{array}{l}m=-5\ (L)\\m=0\ (TM)\end{array} \right.\)
Vậy `m=0,m=-4` thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ thỏa mãn `|x_{A}|+|x_{B}|=5`
Đáp án: `m=0;m=-4`
Giải thích các bước giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm của `(P)` và `(d)` ta có:
`x^2=(2m+3).x+2m+4`
`<=>x^2-(2m+3)x-2m-4=0`
`Δ=(-(2m+3))^2-4.(-2m-4)`
`=4m^2+12m+9+8m+16`
`=4m^2+20m+25`
`=(2m+5)^2≥0∀m`
Để `(d)` luôn cắt `(P)` tại hai điểm phân biệt `∀m`
`<=>Δ>0⇔2m+5\ne0⇔m\ne(-5)/(2)`
Với `m\ne(-5)/(2)` pt có hai nghiệm phân biệt , Theo viet ta có:
$\left\{\begin{matrix}x_A+x_B=\dfrac{-b}{a}=2m+3\\x_A.x_B=\dfrac{c}{a}=-2m-4\end{matrix}\right.$
`+)|x_A|+|x_B|=5`
`<=>(|x_A|+|x_B|)^2=25`
`<=>x_A^2+x_B^2+2.|x_A.x_B|=25`
`<=>x_A^2+2.x_A.x_B+x_B^2-2x_A.x_B+2|x_A.x_B|=25`
`<=>(x_A+x_B)^2-2x_A.x_B+2|x_A.x_B|=25`
`<=>(2m+3)^2-2.(-2m-4)+2.|-2m-4|=25`
`<=>4m^2+12m+9+4m+8+2.|-2m-4|=25`
`<=>4m^2+16m-8+2|-2m-4|=0`
`+)-2m-4≥0=>m≤-2`
`<=>4m^2+16m-8+2.(-2m-4)=0`
`<=>4m^2+12m-16=0`
`<=>`\(\left[ \begin{array}{l}m=1(loại)\\m=-4(tm)\end{array} \right.\)
`+)-2m-4<0=>m>2`
`<=>4m^2+16m-8+2.(2m+4)=0`
`<=>4m^2+20m=0`
`<=>`\(\left[ \begin{array}{l}m=-5(loại)\\m=0(tm)\end{array} \right.\)
Vậy `m=0` hoặc `m=-4` là giá trị cần tìm.