Cho parabol (P) y = x² và đường thẳng (d) y = -(m+2)x-m-2. Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm khác phía với trục tung có tung độ $y_{1},

0 bình luận về “Cho parabol (P) y = x² và đường thẳng (d) y = -(m+2)x-m-2. Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm khác phía với trục tung có tung độ $y_{1},”

1. Đáp án:

   $m = -3$

   Giải thích các bước giải:

   Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:

   $\quad x^2 = – (m+2)x – m – 2$

   $\Leftrightarrow x^2 + (m+2)x + m + 2 = 0\quad (*)$

   $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt nằm khác phía trục tung

   $\Leftrightarrow (*)$ có hai nghiệm phân biệt trái dấu

   $\Leftrightarrow x_1x_2 < 0$

   $\Leftrightarrow m + 2 < 0$

   $\Leftrightarrow m < -2$

   Áp dụng định lý Viète ta được:

   $\begin{cases}x_1 + x_2 = – (m +3)\\x_1x_2 = m + 2\end{cases}$

   Ta có:

   $\quad \sqrt{y_1} + \sqrt{y_2} = 2$

   $\Rightarrow y_1 + y_2 + 2\sqrt{y_1y_2}= 4$

   $\Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 + 2\sqrt{(x_1x_2)^2}= 4$

   $\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2 – 2x_1x_2 + 2|x_1x_2|= 4$

   $\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2 – 4x_1x_2 = 4$

   $\Leftrightarrow (m+3)^2 – 4(m+2)= 4$

   $\Leftrightarrow m^2 + 2m – 3 = 0$

   $\Leftrightarrow (m-1)(m+3)= 0$

   $\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m = 1\quad (loại)\\m = -3\quad (nhận)\end{array}\right.$

   Vậy $m = -3$

   Bình luận

2. Phương trình hoành độ giao:

   $x^2=-(m+2)x-m-2$

   $\to x^2+(m+2)x+m+2=0$

   Hai giao điểm phân biệt, nằm về hai phía $Oy$ khi $P=m+2<0$

   $\to m<-2$

   Theo Viet: $x_1+x_2=-m-2; x_1x_2=m+2$

   $\sqrt{y_1}+\sqrt{y_2}=2$

   $\to \sqrt{x_1^2}+\sqrt{x_2^2}=2$

   $\to |x_1|+|x_2|=2$

   $\to x_1^2+x_2^2+2|x_1x_2|=4$

   $\to (x_1+x_2)^2-2x_1x_2+2|x_1x_2|=4$ (*)

   Có $x_1x_2<0$ 

   Nên (*) $\to (x_1+x_2)^2-2x_1x_2-2x_1x_2=4$

   $\to (m+2)^2-4(m+2)-4=0$

   $\to m^2+4m+4-4m-8-4=0$

   $\to m^2=8$

   $\to m=\pm 2\sqrt2$

   Vậy $m=-2\sqrt2$

   Bình luận