Toán Cho parabol (P) y = x² và đường thẳng (d) y = -(m+2)x-m-2. Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm khác phía với trục tung có tung độ $y_{1}, 16/07/2021 By Ariana Cho parabol (P) y = x² và đường thẳng (d) y = -(m+2)x-m-2. Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm khác phía với trục tung có tung độ $y_{1}, y_{2}$ thỏa mãn $\sqrt{y_{1}}+\sqrt{y_{2}}=2$
Đáp án: $m = -3$ Giải thích các bước giải: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị: $\quad x^2 = – (m+2)x – m – 2$ $\Leftrightarrow x^2 + (m+2)x + m + 2 = 0\quad (*)$ $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt nằm khác phía trục tung $\Leftrightarrow (*)$ có hai nghiệm phân biệt trái dấu $\Leftrightarrow x_1x_2 < 0$ $\Leftrightarrow m + 2 < 0$ $\Leftrightarrow m < -2$ Áp dụng định lý Viète ta được: $\begin{cases}x_1 + x_2 = – (m +3)\\x_1x_2 = m + 2\end{cases}$ Ta có: $\quad \sqrt{y_1} + \sqrt{y_2} = 2$ $\Rightarrow y_1 + y_2 + 2\sqrt{y_1y_2}= 4$ $\Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 + 2\sqrt{(x_1x_2)^2}= 4$ $\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2 – 2x_1x_2 + 2|x_1x_2|= 4$ $\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2 – 4x_1x_2 = 4$ $\Leftrightarrow (m+3)^2 – 4(m+2)= 4$ $\Leftrightarrow m^2 + 2m – 3 = 0$ $\Leftrightarrow (m-1)(m+3)= 0$ $\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m = 1\quad (loại)\\m = -3\quad (nhận)\end{array}\right.$ Vậy $m = -3$ Trả lời
Phương trình hoành độ giao: $x^2=-(m+2)x-m-2$ $\to x^2+(m+2)x+m+2=0$ Hai giao điểm phân biệt, nằm về hai phía $Oy$ khi $P=m+2<0$ $\to m<-2$ Theo Viet: $x_1+x_2=-m-2; x_1x_2=m+2$ $\sqrt{y_1}+\sqrt{y_2}=2$ $\to \sqrt{x_1^2}+\sqrt{x_2^2}=2$ $\to |x_1|+|x_2|=2$ $\to x_1^2+x_2^2+2|x_1x_2|=4$ $\to (x_1+x_2)^2-2x_1x_2+2|x_1x_2|=4$ (*) Có $x_1x_2<0$ Nên (*) $\to (x_1+x_2)^2-2x_1x_2-2x_1x_2=4$ $\to (m+2)^2-4(m+2)-4=0$ $\to m^2+4m+4-4m-8-4=0$ $\to m^2=8$ $\to m=\pm 2\sqrt2$ Vậy $m=-2\sqrt2$ Trả lời