Cho parabol y = ² $\frac{x^2}{2}$ và đường thẳng d = mx + y = 2 cắt nhau tại 2 điểm phân biệt AB giá trị của M để đoạn thẳng AB nhỏ nhất
Cho parabol y = ² $\frac{x^2}{2}$ và đường thẳng d = mx + y = 2 cắt nhau tại 2 điểm phân biệt AB giá trị của M để đoạn thẳng AB nhỏ nhất
By Alaia
Đáp án: m=0
Giải thích các bước giải:
(d): mx+y=2
=> y=-mx+2
Xét pt hoành độ giao điểm của (P) và d có:
$\begin{array}{l}
\frac{{{x^2}}}{2} = – mx + 2\\
\Rightarrow {x^2} + 2mx – 4 = 0\\
\Rightarrow \Delta ‘ > 0\\
\Rightarrow {m^2} + 4 > 0\left( {luon\,dung} \right)\\
Theo\,Viet:\left\{ \begin{array}{l}
{x_A} + {x_B} = – 2m\\
{x_A}.{x_B} = – 4
\end{array} \right.\\
{y_A} = \frac{{x_A^2}}{2};{y_B} = \frac{{x_B^2}}{2}\\
\Rightarrow A{B^2} = {\left( {{x_A} – {x_B}} \right)^2} + {\left( {\frac{{x_A^2}}{2} – \frac{{x_B^2}}{2}} \right)^2}\\
= {\left( {{x_A} – {x_B}} \right)^2} + {\left( {\frac{{\left( {{x_A} + {x_B}} \right).\left( {{x_A} – {x_B}} \right)}}{2}} \right)^2}\\
= {\left( {{x_A} – {x_B}} \right)^2} + {m^2}.{\left( {{x_A} – {x_B}} \right)^2}\\
= \left( {{m^2} + 1} \right).{\left( {{x_A} – {x_B}} \right)^2}\\
= \left( {{m^2} + 1} \right).\left[ {{{\left( {{x_A} + {x_B}} \right)}^2} – 4{x_A}.{x_B}} \right]\\
= \left( {{m^2} + 1} \right)\left( {4{m^2} – 4.\left( { – 4} \right)} \right)\\
= \left( {{m^2} + 1} \right)\left( {4{m^2} + 16} \right)\\
= 4.\left( {{m^4} + 5{m^2} + 4} \right)\\
Do:{m^2} \ge 0\\
\Rightarrow {m^4} + 5{m^2} + 4 \ge 4\\
\Rightarrow A{B^2} \ge 4.4\\
\Rightarrow AB \ge 4\\
\Rightarrow GTNN:AB = 4\,khi:m = 0
\end{array}$