Cho phương trình ( x^2 +x-2) [ x^2- 2(m-1)x+ m^2- 2 ]= 0. Tìm điều kiện của m để phương trình trên có 4 nghiệm phân biệt.
Cho phương trình ( x^2 +x-2) [ x^2- 2(m-1)x+ m^2- 2 ]= 0. Tìm điều kiện của m để phương trình trên có 4 nghiệm phân biệt.
Đáp án:
$\begin{cases}m < \dfrac{3}{2}\\\begin{cases}m \ne 1\\m \ne -2 \sqrt6\\m \ne -2 + \sqrt6\end{cases}\end{cases}$
Giải thích các bước giải:
$(x^2 + x – 2)[x^2 – 2(m-1)x + m^2 – 2] = 0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x^2 + x – 2=0\\x^2 – 2(m-1)x + m^2 – 2 =0\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}x=1\\x = -2\end{array}\right.\\x^2 – 2(m-1)x + m^2 – 2 =0 \quad (*)\end{array}\right.$
Phương trình có 4 nghiiệm phân biệt $\Leftrightarrow (*)$ có 2 nghiệm phân biệt khác $1$ và $-2$
$\Leftrightarrow \begin{cases}\Delta_{(*)}’ > 0\\\begin{cases}1 -2(m – 1).1 + m^2 – 2 \ne 0\\ (-2)^2 – 2(m-1).(-2) + m^2 – 2 \ne 0\end{cases}\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}(m-1)^2 – (m^2 – 2) > 0\\\begin{cases}m^2 -2m + 1 \ne 0\\ m^2 + 4m – 2 \ne 0\end{cases}\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}m < \dfrac{3}{2}\\\begin{cases}m \ne 1\\m \ne -2 \sqrt6\\m \ne -2 + \sqrt6\end{cases}\end{cases}$