Cho phương trình x^2-x-2-m=0 .Xác đinh m để phương trình có hai nghiêm phân bietex1,x2thoar mãn(x1^2-1)(x2^2-1)=-1|9

Đáp án:

$\left[\begin{array}{l}m = -1 -\dfrac{2\sqrt2}{3}\\m = -1 + \dfrac{2\sqrt2}{3}\end{array}\right.$

Giải thích các bước giải:

$x^2 – x – 2 – m = 0$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

$\to \Delta > 0$

$\to 1 + 4(2+ m) >0$

$\to 4m + 9 >0$

$\to m > – \dfrac94$

Với $x_1;\, x_2$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình đã cho

Áp dụng định lý Viète ta được:

$\begin{cases}x_1  +x_2 = 1\\x_1x_2 = -2 -m\end{cases}$

Ta có:

$(x_1^2 – 1)(x_2^2 – 1) = -\dfrac19$

$\to (x_1x_2)^2 – x_1^2 – x_2^2  + 1 = -\dfrac19$

$\to (x_1x_2)^2 – (x_1 + x_2)^2 + 2x_1x_1 + \dfrac{10}{9} =0$

Ta được:

$(-2 -m)^2 – 1^2 + 2(-2 -m) + \dfrac{10}{9} =0$

$\to m^2 + 4m + 4 – 1 – 4 – 2m + \dfrac{10}{9} =0$

$\to m^2 + 2m +\dfrac{1}{9} =0$

$\to \left[\begin{array}{l}m = -1 -\dfrac{2\sqrt2}{3}\\m = -1 + \dfrac{2\sqrt2}{3}\end{array}\right.\quad (nhận)$

Vậy $\left[\begin{array}{l}m = -1 -\dfrac{2\sqrt2}{3}\\m = -1 + \dfrac{2\sqrt2}{3}\end{array}\right.$