cho phương trình x2-2x+m-1=0 (m là tham số). tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn hệ thức x14-x13=x24-x23

Đáp án:

 m=0

Giải thích các bước giải:

 Để phương trình có 2 nghiệm

\(\begin{array}{l}
 \to \Delta ‘ \ge 0\\
 \to 1 – m + 1 \ge 0\\
 \to 2 \ge m\\
Vi – et:\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2\\
{x_1}{x_2} = m – 1
\end{array} \right.\\
{x_1}^4 – {x_1}^3 = {x_2}^4 – {x_2}^3\\
 \to {x_1}^4 – {x_2}^4 = {x_1}^3 – {x_2}^3\\
 \to \left( {{x_1}^2 – {x_2}^2} \right)\left( {{x_1}^2 + {x_2}^2} \right) = \left( {{x_1} – {x_2}} \right)\left( {{x_1}^2 + {x_1}{x_2} + {x_2}^2} \right)\\
 \to \left( {{x_1} – {x_2}} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {{x_1}^2 + {x_2}^2} \right) = \left( {{x_1} – {x_2}} \right)\left( {{x_1}^2 + {x_1}{x_2} + {x_2}^2} \right)\\
 \to \left( {{x_1} – {x_2}} \right)\left[ {2\left( {{x_1}^2 + {x_2}^2} \right) – {x_1}^2 – {x_1}{x_2} – {x_2}^2} \right] = 0\\
 \to \left[ \begin{array}{l}
{x_1} – {x_2} = 0\\
{x_1}^2 + {x_2}^2 – {x_1}{x_2} = 0
\end{array} \right.\\
 \to \left[ \begin{array}{l}
{x_1} = {x_2}\\
{x_1}^2 + {x_2}^2 + 2{x_1}{x_2} – 3{x_1}{x_2} = 0
\end{array} \right.\\
 \to \left[ \begin{array}{l}
\Delta ‘ = 0\\
{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 3{x_1}{x_2} = 0
\end{array} \right.\\
 \to \left[ \begin{array}{l}
2 – m = 0\\
4 – 3\left( {m – 1} \right) = 0
\end{array} \right.\\
 \to \left[ \begin{array}{l}
m = 0\left( {TM} \right)\\
m = \dfrac{7}{3}\left( {KTM} \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)